Здравствуйте, ребята. Сегодня мы поговорим об очень мощном инструменте — обобщённом методе интервалов. С его помощью можно решить практически любое рациональное неравенство.

Давайте сразу к делу. Перед нами неравенство. Наша цель — привести его к стандартному виду. Это значит, в правой части должен быть ноль, а слева — одна рациональная дробь. Иногда для этого нужно перенести слагаемые и привести к общему знаменателю.

Следующий шаг — находим область допустимых значений. Зачем? Чтобы сразу отсечь точки, где функция не существует. Знаменатель не может быть равен нулю — это железное правило.

Дальше ищем нули числителя. Это точки, в которых вся дробь равна нулю. Все эти точки — и корни числителя, и корни знаменателя — мы наносим на числовую ось. Они разбивают её на интервалы.

А теперь самое интересное. Чтобы понять, какой знак имеет функция на каждом интервале, мы берём пробную точку. Самый простой способ — взять самую правую точку, например, десять или сто, подставить в функцию и посмотреть, что получится. Плюс или минус.

И вот тут важно помнить про кратность корней. Если мы встретили корень нечётной кратности — первой, третьей, пятой — при переходе через него знак меняется. Если корень чётной кратности — второй или четвёртой — знак остаётся тем же самым. Представьте, что функция в таком месте просто касается оси и отскакивает обратно.

Почему так происходит? Давайте разберём на примере. Возьмём икс минус один в квадрате. Слева от единицы это выражение положительно, справа — тоже положительно. Знак не меняется. А если икс минус один в кубе? Слева минус, справа плюс — знак меняется. Всё дело в чётности показателя.

Теперь оформим ответ. Если неравенство строгое — больше или меньше нуля — точки, где числитель равен нулю, не включаются. Если нестрогое — больше или равно — эти точки включаем. А вот корни знаменателя — всегда выкалываем, помним про ОДЗ.

Посмотрим на конкретном примере. Неравенство: дробь, где числитель — икс в квадрате минус четыре, а знаменатель — икс в квадрате минус пять икс плюс шесть, и всё это меньше или равно нулю.

Первым делом раскладываем на множители. Числитель — это разность квадратов: икс минус два на икс плюс два. Знаменатель раскладываем по теореме Виета: икс минус два на икс минус три.

Получили дробь, в которой и числитель, и знаменатель содержат множитель икс минус два. Сокращать можно, но с оглядкой: мы обязаны помнить, что икс не может равняться двум, потому что знаменатель исходной дроби обращается в ноль. Записываем это в ОДЗ.

После сокращения остаётся простая дробь: икс плюс два делить на икс минус три. Нуль числителя — это минус два. Нуль знаменателя — три. И не забываем про выколотую двойку.

Рисуем ось, отмечаем точки: минус два, два, три. Определяем знак на самом правом интервале — после тройки. Берём, например, десять, подставляем — получаем плюс. Двигаемся влево. При переходе через тройку знак меняется — на интервале от двух до трёх минус. Двойка у нас выколота, но на интервале от минус двух до двух знак тоже минус. И наконец, левее минус двух — плюс.

Нам нужно меньше или равно нулю. Значит, берём интервалы с минусом. Это от минус двух до двух и от двух до трёх. Точку минус два включаем, потому что неравенство нестрогое и это корень числителя. Точки два и три исключаем по ОДЗ.

Вот и ответ: икс принадлежит промежутку от минус двух до двух и от двух до трёх, причём минус два включено, а двойка с тройкой — нет.

Главное, что нужно запомнить: метод интервалов работает благодаря непрерывности функции. На каждом промежутке между особыми точками функция не может менять знак — иначе ей пришлось бы где-то пересечь ноль, а там, где ноль, у нас либо корень числителя, либо разрыв.

Дома вы потренируетесь на неравенствах с разной кратностью корней. Это несложно, главное — быть внимательными с ОДЗ и не забывать проверять знаки. Удачи!

Последнее изменение: понедельник, 23 февраля 2026, 15:21