Алгебра, полный курс для 9 класса

Здравствуйте, ребята. Садитесь. Сегодня мы начинаем большую и важную тему — системы уравнений с двумя переменными. В жизни мы часто сталкиваемся с задачами, где одна и та же неизвестная величина должна удовлетворять сразу нескольким условиям. Например, мы знаем, что сумма двух чисел равна десяти, а их разность равна двум. Это и есть система: два условия, которые должны выполняться одновременно для одних и тех же чисел.

В математике система записывается с помощью фигурной скобки. Слева от неё перечисляются уравнения, и наша задача — найти все пары значений икс и игрек, которые обращают каждое уравнение в верное равенство.

Давайте сразу на примере. Возьмём простейшую систему: икс плюс игрек равно пяти, икс минус игрек равно одному. Проверим пару чисел: три и два. Подставляем в первое: три плюс два — пять, сходится. Во второе: три минус два — один, тоже верно. Значит, пара три и два — решение.

А теперь проверим пару четыре и один. Первое уравнение выполняется: четыре плюс один — пять. А вот второе: четыре минус один — это три, а не один. Не подходит. Важно понимать: решением считается только та пара, которая удовлетворяет обоим уравнениям сразу. И порядок чисел имеет значение: тройка и двойка — это не то же самое, что двойка и тройка.

Если взглянуть на это геометрически, каждое уравнение задаёт на координатной плоскости линию. Первое уравнение — это прямая, второе — тоже прямая. Их пересечение — это и есть наше решение. В данном случае прямые пересекаются в точке с координатами три и два.

Теперь о главном — как такие системы решать. Самый универсальный способ называется методом подстановки. Смысл прост: из одного уравнения мы выражаем одну переменную через другую, а затем подставляем это выражение во второе уравнение.

Алгоритм такой. Сначала выбираем уравнение, где это сделать проще всего. Например, если где-то икс или игрек уже стоят в одиночестве, без коэффициентов. Выражаем. Потом подставляем полученное выражение во второе уравнение. Теперь у нас одно уравнение с одной неизвестной. Решаем его — находим значение, скажем, икса. А затем возвращаемся к выражению и находим игрек.

Посмотрим на конкретном примере. Система: икс плюс игрек равно семь, и два икс минус игрек равно пять. Из первого уравнения удобно выразить игрек: игрек равен семь минус икс. Подставляем во второе: два икс минус в скобках семь минус икс равно пять. Раскрываем скобки: два икс минус семь плюс икс равно пять. Приводим подобные: три икс минус семь равно пять. Отсюда три икс равно двенадцать, икс равен четырём. Теперь находим игрек: семь минус четыре — это три. Ответ: пара чисел четыре и три.

Бывает, что после подстановки мы получаем не линейное, а квадратное уравнение. Например, система: икс минус игрек равно один, и икс в квадрате плюс игрек в квадрате равно пять. Из первого выражаем икс: икс равен один плюс игрек. Подставляем во второе: сумма квадратов один плюс игрек и игрека равна пяти. Раскрываем скобки, приводим подобные и получаем квадратное уравнение: два игрек в квадрате плюс два игрек минус четыре равно нулю. Решаем, находим два корня: игрек равен единице или минус двум. Для каждого подставляем в выражение для икса. Получаем две пары: два и один, минус один и минус два. И обе являются решениями.

Геометрически это выглядит так: прямая пересекает окружность в двух точках. Вполне нормальная ситуация.

Если в процессе решения мы приходим к противоречию, например, получаем два равно пяти, значит, система решений не имеет. А если получаем тождество, вроде ноль равно нулю, значит, решений бесконечно много — это случай, когда уравнения, по сути, описывают одну и ту же линию.

Что важно запомнить на сегодня. Во-первых, система уравнений — это несколько условий, которые должны выполняться одновременно. Во-вторых, решение системы — это всегда пара чисел. В-третьих, метод подстановки работает всегда: выражаем, подставляем, решаем, возвращаемся. И не забывайте проверять, особенно если получается несколько вариантов.

Дома потренируетесь на системах, где после подстановки получаются и линейные, и квадратные уравнения. Это несложно, главное — аккуратность. Удачи