Здравствуйте, ребята. Сегодня мы познакомимся ещё с одним способом решения систем — методом алгебраического сложения. Он основан на простой и красивой идее: если у нас есть два верных равенства, то их можно складывать или вычитать друг из друга, и результат тоже будет верным равенством.

Посмотрите на доску. Представьте, что у нас есть система: два икс плюс три игрек равно восьми и пять икс минус три игрек равно единице. Обратите внимание на коэффициенты при игрек: в первом уравнении плюс три, во втором — минус три. Если мы сложим эти два уравнения почленно, игреки взаимно уничтожатся. Давайте попробуем. Складываем иксы: два икс плюс пять икс — получаем семь икс. Игреки: плюс три игрек и минус три игрек дают ноль. В правой части: восемь плюс один — девять. Получили простое уравнение: семь икс равно девяти. Отсюда икс равен девяти седьмым. Осталось подставить это значение в любое из исходных уравнений, скажем в первое, и найти игрек. Два умножить на девять седьмых плюс три игрек равно восемь. Три игрек равно восемь минус восемнадцать седьмых, это пятьдесят шесть седьмых минус восемнадцать седьмых, получаем тридцать восемь седьмых. Игрек равен тридцать восемь двадцать первых. Система решена.

В этом и заключается суть метода: мы специально подбираем числа так, чтобы при сложении или вычитании уравнений одна из переменных исчезла.

Конечно, в жизни коэффициенты редко бывают сразу противоположными. Часто приходится сначала поработать — умножить уравнения на подходящие числа. Алгоритм простой. Сначала приводим оба уравнения к стандартному виду, когда все неизвестные слева, а число справа. Потом решаем, какую переменную будем исключать. Дальше подбираем множители для каждого уравнения так, чтобы коэффициенты при этой переменной стали противоположными числами. После этого складываем уравнения почленно и получаем одно уравнение с одной переменной. Решаем его, находим значение, подставляем обратно — и готово.

Рассмотрим пример посложнее. Возьмём систему: три икс плюс два игрек равно двенадцать и пять икс плюс три игрек равно девятнадцать. Хотим исключить игрек. Сейчас у нас коэффициенты два и три. Наименьшее общее кратное — шесть. Значит, первое уравнение умножим на три, получим девять икс плюс шесть игрек равно тридцать шесть. А второе умножим на минус два, чтобы получить минус шесть игрек. Получаем минус десять икс минус шесть игрек равно минус тридцать восемь. Теперь складываем: иксы: девять икс минус десять икс — это минус икс. Игреки: шесть игрек минус шесть игрек — ноль. Справа: тридцать шесть минус тридцать восемь — минус два. Получили минус икс равно минус два, значит, икс равен двум. Подставляем в любое исходное, например в первое: три умножить на два плюс два игрек равно двенадцать. Шесть плюс два игрек равно двенадцать, два игрек равно шесть, игрек равен трём. Ответ: два и три.

Бывает, что после сложения мы получаем не просто уравнение, а неожиданный результат. Если получилось тождество, например ноль равно нулю, это значит, что уравнения по сути одинаковы, и у системы бесконечно много решений. А если получилось противоречие, скажем, ноль равно пяти, значит, система решений не имеет.

Что важно запомнить. Во-первых, метод сложения особенно удобен, когда коэффициенты при какой-то переменной легко уравнять. Во-вторых, не забывайте умножать обе части уравнения, а не только левую. В-третьих, внимательно следите за знаками, особенно когда умножаете на отрицательное число.

Дома потренируетесь на системах, где нужно будет и складывать, и вычитать, и подбирать множители. Это несложно, главное — аккуратность. Удачи

Последнее изменение: понедельник, 23 февраля 2026, 15:23