Здравствуйте, ребята. Садитесь. Продолжаем разговор о числовых последовательностях. Сегодня в центре внимания — арифметическая прогрессия. Мы уже знаем, что это такое: каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему плюс одно и то же число, которое называют разностью. На прошлом уроке мы задавали её рекуррентно: а энное плюс первое равно а энное плюс дэ.

Но у такого способа есть недостаток: чтобы найти, скажем, сотый член, нужно перебрать все предыдущие. Это долго и неудобно. Нам нужна формула, которая позволит вычислить любой член сразу, по его номеру.

Давайте выведем её. Возьмём первый член — обозначим его а первое. Второй — это а первое плюс дэ. Третий — а первое плюс два дэ. Четвёртый — а первое плюс три дэ. Видите закономерность? Коэффициент перед дэ всегда на единицу меньше номера. Значит, для номера эн формула будет такой: а энное равно а первое плюс эн минус один, умноженное на дэ.

Проверим для второго номера: эн минус один — это один, умножаем на дэ, получаем а первое плюс дэ. Всё сходится. Это и есть формула энного члена арифметической прогрессии. Очень полезная вещь.

Теперь посмотрим, как она работает. Дана прогрессия: три, семь, одиннадцать, пятнадцать... Первый член — три, разность — четыре. Хотим найти двадцатый член. Подставляем в формулу: три плюс девятнадцать умножить на четыре. Девятнадцать на четыре — семьдесят шесть, плюс три — семьдесят девять. Всё просто.

А теперь поговорим об одном замечательном свойстве арифметической прогрессии. Оно называется характеристическим. Сформулируем его так: каждый член прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух своих соседей — предыдущего и последующего.

Давайте докажем. Пусть у нас есть член а энное. Предыдущий — а энное минус первое, следующий — а энное плюс первое. Выразим их через а энное и разность дэ. Предыдущий — это а энное минус дэ, следующий — а энное плюс дэ. Складываем их: а энное минус дэ плюс а энное плюс дэ — дэ сокращаются, остаётся два а энных. Разделим пополам — получим а энное. Что и требовалось доказать.

Это свойство работает в обе стороны. Если для последовательности выполняется такое условие, значит, перед нами арифметическая прогрессия. Это удобно для проверки.

Как применять на практике? Допустим, известны пятый член — двенадцать и седьмой — двадцать. Найти шестой. По свойству, шестой равен полусумме пятого и седьмого. Двенадцать плюс двадцать — тридцать два, половина — шестнадцать. Готово. Даже разность не понадобилась.

Или другая задача: найти неизвестное икс, если числа икс, два икс плюс один и четыре икс плюс три образуют арифметическую прогрессию. Для среднего члена, два икс плюс один, применяем свойство: удвоенное среднее равно сумме крайних. Составляем уравнение, решаем — получаем икс равен минус единице. Проверяем: минус один, минус один, минус один — это тоже прогрессия, постоянная, разность равна нулю.

Что нужно запомнить. Во-первых, формула а энного равна а первому плюс эн минус один на дэ — это основа всего. Во-вторых, характеристическое свойство: каждый член есть среднее арифметическое соседей. Оно позволяет находить пропущенные члены и проверять, является ли последовательность прогрессией.

Домашнее задание: несколько номеров на применение обоих инструментов. И помните: арифметическая прогрессия — это не просто скучные цифры, а удобная модель для многих реальных процессов. Удачи.

Последнее изменение: понедельник, 23 февраля 2026, 15:46