Алгебра, полный курс для 9 класса

Здравствуйте, ребята. Садитесь. На прошлых уроках мы научились задавать арифметическую прогрессию и находить любой её член по номеру. Сегодня пойдём дальше — научимся быстро считать сумму нескольких членов. Это очень полезный навык, и, как вы увидите, формула для суммы красива и проста.

Начну с истории. Когда великому математику Карлу Гауссу было семь лет, учитель в наказание велел классу сложить все числа от единицы до ста. Учитель думал, что дети займутся этим надолго. Но через несколько минут маленький Гаусс выдал ответ: пять тысяч пятьдесят. Как он это сделал? Он заметил закономерность: если сложить первое и последнее число — единицу и сто, получится сто один. Второе и предпоследнее — два и девяносто девять — тоже сто один. И так далее. Всего таких пар пятьдесят. Пятьдесят раз по сто один — это и есть пять тысяч пятьдесят.

Этот гениальный приём лёг в основу формулы суммы арифметической прогрессии. Давайте выведем её в общем виде.

Рассмотрим прогрессию: а первое, а второе, а третье, и так до а энного. Запишем сумму сначала в прямом порядке: от первого до последнего. А теперь рядом запишем ту же сумму, но в обратном порядке: от последнего до первого. Сложим эти два выражения почленно.

Что получится? Первое слагаемое одной суммы плюс первое другой — это а первое плюс а энное. Второе слагаемое одной плюс второе другой — а второе плюс а энное минус первое. Но в арифметической прогрессии а второе — это а первое плюс дэ, а а энное минус первое — это а энное минус дэ. Если их сложить, дэ сократятся, и снова получится а первое плюс а энное. И так для каждой пары. Всего таких пар ровно эн штук.

Значит, удвоенная сумма равна эн умножить на сумму первого и последнего членов. Отсюда получаем первую формулу: сумма первых эн членов равна полусумме первого и последнего, умноженной на количество членов. Или, что то же самое, произведение суммы первого и последнего на эн, делённое на два.

В этой формуле фигурирует последний член. Но часто мы его не знаем, зато знаем разность прогрессии. Тогда на помощь приходит вторая формула. Вместо а энного подставляем а первое плюс эн минус один, умноженное на дэ. После упрощения получаем: сумма равна эн, умноженное на два а первое плюс дэ умножить на эн минус один, и всё это делённое на два.

Обе формулы равносильны, и вы можете пользоваться любой, в зависимости от того, что дано в условии.

Посмотрим на примерах. Вот простейший: дана прогрессия пять, девять, тринадцать, семнадцать, двадцать один, двадцать пять. Нужно найти сумму. Первый член — пять, последний — двадцать пять, всего шесть членов. Складываем пять и двадцать пять — тридцать, делим пополам — пятнадцать, умножаем на шесть — девяносто. Можно проверить прямым сложением — сходится.

Другой пример: первый член равен семи, разность трём, нужно найти сумму первых двадцати членов. Берём вторую формулу. Дважды семь — четырнадцать, прибавляем три умножить на девятнадцать — это пятьдесят семь, получаем семьдесят один. Делим на два — тридцать пять с половиной, умножаем на двадцать — семьсот десять. Ответ готов.

Кстати, сумма первых ста натуральных чисел по этой формуле даёт как раз те самые пять тысяч пятьдесят, что и Гаусс когда-то вычислил.

Формулы суммы позволяют решать и обратные задачи. Например, зная сумму, можно найти количество членов. Или, имея две суммы для разных эн, составить систему и найти первый член с разностью.

Что нужно запомнить. Во-первых, есть две равноправные формулы суммы, и вы должны уметь выбирать удобную. Во-вторых, обе они выведены из остроумного наблюдения Гаусса, которое стоит понять, а не просто заучить. В-третьих, эти формулы работают не только в абстрактных задачах, но и в реальной жизни: при подсчёте брёвен в штабеле, ударов часов, километража спортсмена и так далее.

Домашнее задание — несколько номеров на отработку. Не забывайте проверять себя: если сумма небольшая, можно сложить всё вручную и убедиться, что формула не врёт. Удачи