Здравствуйте, ребята. Садитесь. На прошлом уроке мы научились находить любой член геометрической прогрессии. Сегодня пойдём дальше — выведем формулу для суммы первых нескольких членов. Это нужно и в математике, и в жизни: например, чтобы подсчитать, сколько зёрен окажется на шахматной доске по легенде, или какая сумма накопится на вкладе в банке за несколько лет.

Давайте сначала вспомним, что такое геометрическая прогрессия. Это последовательность, где каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число — знаменатель ку. Формула энного члена: бэ энное равно бэ первому умножить на ку в степени эн минус один.

Теперь о сумме. Обозначим сумму первых эн членов как эс энное. Запишем её в развёрнутом виде: бэ первое плюс бэ первое на ку плюс бэ первое на ку в квадрате и так далее до бэ первого на ку в степени эн минус один.

Чтобы получить удобную формулу, применим хитрый приём. Умножим обе части этого равенства на знаменатель ку. Получим: ку эс энное равно бэ первое ку плюс бэ первое ку в квадрате и так далее до бэ первого ку в степени эн.

Теперь вычтем из второго равенства первое. Посмотрите, что произойдёт. Почти все слагаемые справа взаимно уничтожатся. Останется ку эс энное минус эс энное равно бэ первое ку в степени эн минус бэ первое. Слева выносим эс энное за скобку: эс энное умножить на ку минус один. Справа выносим бэ первое: бэ первое умножить на ку в степени эн минус один.

Если ку не равно единице, мы можем разделить обе части на ку минус один. Получаем формулу: сумма первых эн членов равна бэ первому, умноженному на ку в степени эн минус один, делённому на ку минус один. Это первая форма записи. Иногда удобнее использовать другую, домножив числитель и знаменатель на минус единицу: сумма равна бэ первому умножить на один минус ку в степени эн, делённое на один минус ку.

Важный частный случай: если ку равно единице, то все члены прогрессии одинаковы. Тогда сумма — это просто эн умножить на бэ первое. Для этого случая наша формула не работает, потому что знаменатель обращается в ноль.

Посмотрим, как это работает на примерах. Возьмём прогрессию: три, шесть, двенадцать, двадцать четыре, сорок восемь, девяносто шесть. Первый член — три, знаменатель — два. Хотим найти сумму первых шести членов. Подставляем в формулу: три умножить на два в шестой степени минус один, делённое на два минус один. Два в шестой — шестьдесят четыре, минус один — шестьдесят три. Трижды шестьдесят три — сто восемьдесят девять. Делим на единицу — получаем сто восемьдесят девять. Можно проверить сложением — сходится.

Другой пример: убывающая прогрессия шестнадцать, восемь, четыре, два, один. Здесь первый член — шестнадцать, знаменатель — одна вторая. Удобнее взять формулу с единицей минус ку в степени эн. Подставляем: шестнадцать умножить на один минус одна вторая в пятой степени, делённое на один минус одна вторая. Одна вторая в пятой — это одна тридцать вторая. Один минус одна тридцать вторая — тридцать одна тридцать вторая. Умножаем на шестнадцать, получаем шестнадцать тридцать вторых от тридцати одного, то есть одна вторая от тридцати одного, или пятнадцать с половиной. Делим на одну вторую — умножаем на два, получаем тридцать один. Проверяем сложением: шестнадцать плюс восемь плюс четыре плюс два плюс один — действительно тридцать один.

Что нужно запомнить. Во-первых, универсальная формула суммы работает для любого ку, кроме единицы. Для ку равного единице — своя простая формула. Во-вторых, вывод основан на остроумном приёме: умножили на ку, вычли, почти всё сократилось. В-третьих, формула позволяет решать и обратные задачи: находить количество членов, если известна сумма, или первый член со знаменателем.

Домашнее задание — несколько номеров на отработку. Особое внимание обратите на случай знакочередующейся прогрессии, где знаменатель отрицательный. Там формула работает так же, но будьте внимательны со знаками. Удачи.

Последнее изменение: понедельник, 23 февраля 2026, 15:49