Здравствуйте, ребята. Садитесь. На прошлом уроке мы говорили о степенной функции с натуральным показателем. Сегодня сделаем следующий шаг — рассмотрим функцию, где показатель может быть дробным, рациональным числом. Такая функция записывается как игрек равен икс в степени пэ на ку, где пэ — целое, ку — натуральное.

Что это означает по сути? Вспомним определение степени с рациональным показателем: икс в степени пэ на ку — это корень степени ку из икса в степени пэ. Например, икс в степени одна вторая — это квадратный корень из икса. Икс в степени две третьих — это корень кубический из икса в квадрате. Или, что то же самое, квадрат кубического корня из икса.

И сразу возникает главный вопрос: какова область определения такой функции? Она зависит от двух вещей — от знака показателя и от чётности знаменателя ку.

Если знаменатель нечётный, например три или пять, то корень нечётной степени извлекается из любого числа. Значит, если показатель положительный, икс может быть любым. Если показатель отрицательный, добавляется условие: икс не равен нулю, потому что мы делим.

Если знаменатель чётный, например два или четыре, то корень чётной степени извлекается только из неотрицательных чисел. Поэтому при положительном показателе икс должен быть больше или равен нулю. При отрицательном — строго больше нуля, потому что икс стоит в знаменателе.

Посмотрим на примерах. Икс в степени одна третья — это кубический корень. Знаменатель нечётный, показатель положительный — икс любой. Икс в степени одна вторая — квадратный корень — только икс от нуля и больше. Икс в степени минус одна вторая — это единица, делённая на корень из икса — здесь икс строго положителен.

Теперь о поведении функции. Возьмём икс в степени одна вторая. Это привычный квадратный корень. Функция возрастает, чем больше икс, тем больше корень. Значения только неотрицательные. График — ветвь параболы, лежащая на боку.

Икс в степени одна третья — кубический корень. Здесь уже и область определения, и область значений — все числа. Функция нечётная, возрастающая. График симметричен относительно начала координат.

Интересный случай — икс в степени две третьих. Поскольку числитель чётный, значение всегда неотрицательно, даже при отрицательных икс. Функция чётная, убывает слева от нуля и возрастает справа. График похож на параболу, но более пологий вблизи нуля.

Если показатель отрицательный, функция убывает. Например, икс в степени минус одна вторая — при увеличении икса значение уменьшается. График имеет асимптоты: ось игрек и ось икс.

Эти свойства важно понимать не только для построения графиков, но и для решения уравнений и неравенств. Например, уравнение икс в степени две третьих равно четырём. Возводим обе части в степень три вторых, получаем икс равен восьми. Но из-за чётности числителя нужно проверить и минус восемь — подходит. Так что ответ — плюс минус восемь.

При сравнении чисел с разными дробными показателями удобно возводить их в общую степень, чтобы избавиться от корней.

Что нужно запомнить. Во-первых, область определения зависит от чётности знаменателя и знака показателя. Во-вторых, при положительном показателе функция возрастает, при отрицательном — убывает. В-третьих, чётность числителя при нечётном знаменателе даёт чётную функцию.

Домашнее задание — исследовать несколько таких функций, найти их области определения и построить эскизы графиков. Это поможет разобраться в теме. Удачи.

Последнее изменение: понедельник, 23 февраля 2026, 15:52