6. Решение задач с пересечением и объединением

Задача 1 (школьная статистика)

В 8 «А» классе 25 учеников. Из них 10 человек занимаются в спортивной секции (множество S), а 8 человек — в музыкальной школе (множество M). Известно, что 3 ученика занимаются и там, и там (S ∩ M).

Вопросы:
а) Сколько учеников занимаются только спортом?
Решение: S без пересечения = 10 – 3 = 7 человек.

б) Сколько учеников занимаются хотя бы чем-то одним (S ∪ M)?
Решение: 10 + 8 – 3 = 15 (мы сложили оба множества, но двойников (3 человека) посчитали дважды, поэтому один раз вычитаем).

в) Сколько учеников не занимаются ничем?
Решение: 25 – 15 = 10 человек.

Задача 2 (на числовые промежутки)

Даны множества: A = { x | 2 < x ≤ 6 } (от 2 до 6, двойка не включена).
B = { x | 5 ≤ x < 9 } (от 5 до 9, девятка не включена).
Найдите: A ∩ B и A ∪ B.

Решение:

  • A ∩ B: пересекаются числа от 5 до 6. Так как в A шестёрка включена, а в B пятёрка включена, получаем: { x | 5 ≤ x ≤ 6 } (оба конца включены, так как каждое число лежит в своём промежутке).

  • A ∪ B: объединяем промежутки, они перекрываются, поэтому получаем сплошной промежуток: { x | 2 < x < 9 } (2 не включена, 9 не включена, так как изначально они были исключены).

Задача 3 (из реальной жизни — список покупок)

Пусть A — множество продуктов, которые купила мама: {хлеб, молоко, яйца}.
B — множество продуктов, которые купил папа: {молоко, сыр, колбаса}.

Найти:

  • A ∩ B = {молоко} (это продукты, которые купили оба — дома будет двойное количество молока).

  • A ∪ B = {хлеб, молоко, яйца, сыр, колбаса} (все продукты, которые есть теперь дома).