План урока.

Модуль 1: Тригонометрия и решение треугольников (6 уроков)

Урок 1. Тригонометрические функции углов от 0° до 180°.

• План урока:

  1. Определение синуса, косинуса и тангенса для углов от 0° до 180° с использованием единичной полуокружности.

  2. Знаки тригонометрических функций по четвертям.

  3. Формулы приведения для тупых углов: sin(180° - α) = sin α, cos(180° - α) = -cos α. Вывод на основе симметрии точек на единичной окружности .

Урок 2. Основное тригонометрическое тождество.

• План урока:

  1. Формулировка и доказательство основного тригонометрического тождества: sin²α + cos²α = 1 для любого угла от 0° до 180°.

  2. Следствия из тождества: выражение синуса через косинус и косинуса через синус.

  3. Формулы тангенса для тупых углов: tg(180° - α) = -tg α .

Урок 3. Теорема косинусов.

• План урока:

  1. Формулировка теоремы косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: a² = b² + c² - 2bc·cos A.

  2. Доказательство теоремы с использованием метода координат (расположение треугольника в системе координат).

  3. Частный случай: теорема Пифагора как следствие теоремы косинусов для прямоугольного треугольника (cos 90° = 0) .

Урок 4. Теорема синусов.

• План урока:

  1. Формулировка теоремы синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R (где R — радиус описанной окружности).

  2. Доказательство теоремы через вычисление площади треугольника (S = 1/2 ab sin C).

  3. Следствие: отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности .

Урок 5. Соотношения между сторонами и углами треугольника.

• План урока:

  1. Теорема о площади треугольника: S = 1/2 ab sin C.

  2. Нахождение элементов треугольника по трем сторонам, по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум углам.

  3. Определение количества возможных решений при заданных элементах (неоднозначность в случае "двух решений") .

Урок 6. Решение треугольников.

• План урока:

  1. Обобщенный алгоритм решения треугольников с использованием теорем синусов и косинусов.

  2. Измерительные работы на местности (нахождение высоты предмета, расстояния до недоступной точки) как практическое применение теорем .

Модуль 2: Преобразование подобия и метрические соотношения в окружности (2 урока)

Урок 7. Преобразование подобия. Подобие фигур.

• План урока:

  1. Определение преобразования подобия (гомотетия как частный случай). Коэффициент подобия.

  2. Свойства преобразования подобия: сохранение углов, пропорциональность соответственных отрезков.

  3. Подобие произвольных фигур (не только треугольников). Отношение площадей подобных фигур .

Урок 8. Теоремы о произведении отрезков хорд и секущих.

• План урока:

  1. Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд (доказательство через подобие вписанных углов).

  2. Теорема о квадрате касательной: MC² = MA·MB (где M — точка вне окружности, MA и MB — отрезки секущей).

  3. Теорема о произведении отрезков секущих (обобщенный случай) .

Модуль 3: Векторы на плоскости (4 урока)

Урок 9. Понятие вектора. Равенство векторов.

• План урока:

  1. Определение вектора как направленного отрезка. Обозначение векторов.

  2. Длина (модуль) вектора. Нулевой вектор.

  3. Коллинеарные, сонаправленные и противоположно направленные векторы. Равенство векторов (одинаковые направления и длины) .

Урок 10. Сложение и вычитание векторов.

• План урока:

  1. Правило треугольника сложения векторов.

  2. Правило параллелограмма сложения векторов (для векторов, отложенных от одной точки).

  3. Законы сложения векторов (переместительный и сочетательный).

  4. Вычитание векторов как сложение с противоположным вектором .

Урок 11. Умножение вектора на число.

• План урока:

  1. Определение произведения вектора на число. Геометрический смысл: изменение длины и сохранение/изменение направления.

  2. Свойства умножения вектора на число (сочетательное, распределительные).

  3. Применение векторов к решению задач: доказательство параллельности прямых, деление отрезка в заданном отношении .

Урок 12. Применение векторов. Средняя линия трапеции.

• План урока:

  1. Теорема о средней линии трапеции (доказательство векторным методом).

  2. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам (лемма о разложении) .

Модуль 4: Метод координат (4 урока)

Урок 13. Координаты вектора. Разложение вектора по координатным осям.

• План урока:

  1. Определение координат вектора в прямоугольной системе координат.

  2. Разложение вектора по единичным координатным векторам i и j: a = xi + yj.

  3. Действия над векторами в координатной форме: сложение, вычитание, умножение на число .

Урок 14. Простейшие задачи в координатах.

• План урока:

  1. Координаты середины отрезка: x = (x₁ + x₂)/2, y = (y₁ + y₂)/2. Вывод формул.

  2. Вычисление длины вектора по его координатам: |a| = √(x² + y²).

  3. Расстояние между двумя точками: d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) .

Урок 15. Уравнение окружности и прямой.

• План урока:

  1. Вывод уравнения окружности: (x - a)² + (y - b)² = R² (центр в точке (a; b), радиус R).

  2. Вывод уравнения прямой как линии первого порядка: ax + by + c = 0.

  3. Частные случаи расположения прямой (горизонтальная, вертикальная, проходящая через начало координат) .

Урок 16. Скалярное произведение векторов.

• План урока:

  1. Определение скалярного произведения векторов: a·b = |a|·|b|·cos φ (геометрическое определение).

  2. Скалярное произведение в координатах: a·b = x₁x₂ + y₁y₂.

  3. Применение скалярного произведения для нахождения угла между векторами и доказательства перпендикулярности .