Предыдущая
Следующая

3. Числовые множества и их взаимосвязь

Математика оперирует различными числовыми множествами. Вспомним иерархию чисел, которая расширялась по мере вашего взросления.

  1. Натуральные числа (ℕ)

    • Это числа, используемые для счета предметов: 1, 2, 3, 4, ...

    • Замечание: В некоторых учебных пособиях к натуральным относят и 0. Мы будем придерживаться классического подхода: ℕ = {1, 2, 3, ...}.

  2. Целые числа (ℤ)

    • Это объединение натуральных чисел, чисел, противоположных натуральным (отрицательные), и нуля.

    • ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. Видим, что ℕ ⊂ ℤ.

  3. Рациональные числа (ℚ)

    • Это числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби *m/n*, где *m* — целое (m ∈ ℤ), а *n* — натуральное (n ∈ ℕ).

    • Сюда входят:

      • Целые числа (3 = 3/1, -5 = -5/1).

      • Конечные десятичные дроби (0,25 = 1/4).

      • Бесконечные периодические десятичные дроби (0,333... = 1/3, 0,272727... = 3/11).

    • Важно: Рациональное число — это всегда бесконечная периодическая десятичная дробь. Конечную дробь мы можем считать периодической с периодом 0 (ноль): 0,25 = 0,25000... = 0,24(9)?, но обычно оставляют как конечную. Классика: 1/3 = 0,(3).

    • ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ.

  4. Иррациональные числа (𝕀 — обозначение нестандартное, обычно говорят "иррациональные числа")

    • Это числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби *m/n*.

    • Они представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби.

    • Примеры: √2 ≈ 1,414213562... (у него нет повторяющегося периода), √3, знаменитое число π ≈ 3,1415926535..., число e ≈ 2,718281828... (хотя здесь есть повтор 1828, но это не период, дальше цифры идут иначе).

  5. Действительные (вещественные) числа (ℝ)

    • Это объединение множеств рациональных и иррациональных чисел. Это все числа, которые мы используем в школьном курсе.

    • Геометрически действительные числа заполняют всю числовую прямую сплошь (без "дырок").

Взаимосвязь:
На схеме это выглядит как матрешка или вложенные друг в друга круги Эйлера:
Самый большой круг — ℝ (действительные).
Внутри него два непересекающихся больших сектора: Рациональные (ℚ) и Иррациональные.
Внутри круга рациональных чисел (ℚ) находится круг Целых (ℤ).
Внутри круга целых (ℤ) находится круг Натуральных (ℕ) (без нуля, ноль — отдельно в ℤ).

Предыдущая
Следующая