Алгебра, полный курс для 10 класса

Определение: Степенью числа $a>0$ с рациональным показателем $\frac{m}{n}$, где $m\in \mathbb{Z}$, $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 2$, называется число:

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$

или, что то же самое:

$$a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a}{)}^m$$

Важные замечания:

1. Основание $a>0$. Почему? Если $a=0$, то $0^{m\mathrm{/}n}=0$ (при $m>0$). Если $a<0$, то при чётных $n$ выражение $\sqrt[n]{a^m}$ может быть не определено в действительных числах (например, $(-2{)}^{1\mathrm{/}2}=\sqrt{-2}$ не существует). Чтобы избежать проблем, в школьном курсе для дробных показателей основание полагают строго положительным.

2. Если $m\mathrm{/}n$ — сократимая дробь, то её обычно сокращают, но значение степени от этого не зависит (при $a>0$).

Примеры:

• $4^{\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2$

• $8^{\frac{2}{3}}=(\sqrt[3]{8}{)}^2=2^2=4$ (или $\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4$)

• ${27}^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{{27}^{\frac{1}{3}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{27}}=\frac{1}{3}$

• ${16}^{0.75}={16}^{\frac{3}{4}}=(\sqrt[4]{16}{)}^3=2^3=8$

Устное упражнение: Представить в виде корня: $x^{2\mathrm{/}3}$, $a^{-1\mathrm{/}2}$, $b^{0.4}$.