Модуль 1: Повторение и расширение сведений о множествах и функциях (4 урока)

Урок 1. Множества и операции над ними. Числовые множества.

  • План урока:

    1. Понятие множества, элемента множества. Способы задания множеств.

    2. Подмножество. Операции над множествами: пересечение, объединение, разность, дополнение. Диаграммы Эйлера–Венна .

    3. Числовые множества: натуральные (ℕ), целые (ℤ), рациональные (ℚ), иррациональные, действительные (ℝ) числа. Взаимосвязь между ними .

    4. Понятие о том, что рациональное число — это бесконечная периодическая десятичная дробь, иррациональное — бесконечная непериодическая дробь.

Урок 2. Действительные числа. Приближённые вычисления.

  • План урока:

    1. Арифметические операции над действительными числами. Свойства действий.

    2. Сравнение действительных чисел.

    3. Приближённые вычисления. Абсолютная и относительная погрешность приближения. Правила округления, прикидка и оценка результата вычислений .

    4. Стандартная форма записи действительного числа (для решения практических задач) .

Урок 3. Функция и её свойства. Область определения и множество значений.

  • План урока:

    1. Определение числовой функции. Способы задания функции: аналитический, графический, табличный, словесный .

    2. Область определения и область (множество) значений функции.

    3. Нули функции. Промежутки знакопостоянства. Чётность и нечётность функций (определение, геометрический смысл) .

    4. Монотонность функции (возрастание, убывание). Понятие ограниченности функции.

Урок 4. Построение графиков функций с помощью геометрических преобразований.

  • План урока:

    1. Базовые графики элементарных функций (линейная, квадратичная, y = 1/x).

    2. Теоретическое обоснование преобразований: параллельный перенос вдоль осей (y = f(x) + a, y = f(x - a)).

    3. Растяжение и сжатие вдоль осей (y = kf(x), y = f(kx)).

    4. Отражение относительно осей координат (y = -f(x), y = f(-x)) .

Модуль 2: Степенная функция и корень n-й степени (4 урока)

Урок 5. Степенная функция с натуральным и целым показателем.

  • План урока:

    1. Определение степенной функции y = xⁿ для n ∈ ℕ. Анализ свойств и вида графика в зависимости от чётности n .

    2. Определение степенной функции y = xⁿ для целого отрицательного n (y = x⁻ᵏ). Гипербола. Анализ свойств и графика .

    3. Взаимно обратные функции. Понятие обратимости функции. Связь графика функции и обратной к ней .

Урок 6. Арифметический корень n-й степени. Функция y = ⁿ√x.

  • План урока:

    1. Определение корня n-й степени из числа. Арифметический корень натуральной степени .

    2. Свойства арифметического корня n-й степени (для a≥0, b≥0):

      • ⁿ√(ab) = ⁿ√a · ⁿ√b

      • ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b (b≠0)

      • (ⁿ√a)ᵏ = ⁿ√(aᵏ)

      • ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐⁿ√a .

    3. Функция y = ⁿ√x, её свойства и график .

Урок 7. Степень с рациональным показателем.

  • План урока:

    1. Определение степени с рациональным показателем: a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ), где a > 0, m ∈ ℤ, n ∈ ℕ, n ≥ 2 .

    2. Свойства степени с рациональным показателем (аналогичны свойствам степени с целым показателем).

    3. Преобразование выражений, содержащих степени с рациональным показателем и радикалы .

Урок 8. Иррациональные уравнения и неравенства.

  • План урока:

    1. Определение иррационального уравнения. Понятие равносильности уравнений. Посторонние корни и потеря решений.

    2. Основной метод решения: возведение обеих частей уравнения в степень. Теорема о равносильности при возведении в нечётную степень и при возведении в чётную степень (с учётом ОДЗ) .

    3. Иррациональные неравенства общего вида. Условия равносильности при возведении в степень (на примере неравенств вида √(f(x)) < g(x) и √(f(x)) > g(x)) .

Модуль 3: Тригонометрические функции и основные формулы (5 уроков)

Урок 9. Радианная мера угла. Тригонометрические функции числового аргумента.

  • План урока:

    1. Понятие радианной меры угла. Формулы перехода: 180° = π рад, 1 рад = 180°/π, 1° = π/180 рад .

    2. Тригонометрическая окружность. Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса как координат точки на единичной окружности .

    3. Знаки тригонометрических функций по четвертям .

Урок 10. Основные соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента.

  • План урока:

    1. Основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1. Вывод и следствия.

    2. Зависимости: tg α = sin α / cos α, ctg α = cos α / sin α, tg α · ctg α = 1.

    3. Формулы, связывающие тангенс и косинус, котангенс и синус: 1 + tg²α = 1/cos²α, 1 + ctg²α = 1/sin²α. Вывод и применение .

Урок 11. Чётность, нечётность и периодичность тригонометрических функций.

  • План урока:

    1. Чётность и нечётность: синус и тангенс — нечётные (sin(-α) = -sin α, tg(-α) = -tg α), косинус — чётный (cos(-α) = cos α). Следствия для графиков .

    2. Определение периодической функции. Понятие главного периода.

    3. Периоды синуса, косинуса (T = 2π) и тангенса, котангенса (T = π) .

Урок 12. Формулы приведения.

  • План урока:

    1. Правило записи формул приведения. Мнемоническое правило ("лошадиное правило") для определения знака и названия функции.

    2. Таблица формул приведения как следствие симметрии тригонометрической окружности.

    3. Применение формул для упрощения выражений и вычислений .

Урок 13. Формулы сложения и их следствия.

  • План урока:

    1. Формулы синуса и косинуса суммы и разности аргументов: sin(α ± β), cos(α ± β). Вывод или геометрическая иллюстрация.

    2. Формулы двойного угла: sin 2α = 2 sin α cos α, cos 2α = cos²α - sin²α, tg 2α .

    3. Формулы суммы и разности одноимённых тригонометрических функций (обзорно, как инструмент преобразования) .

Модуль 4: Производная и её применение (3 урока)

Урок 14. Понятие о пределе и непрерывности функции. Задачи, приводящие к понятию производной.

  • План урока:

    1. Интуитивное понятие предела функции в точке и на бесконечности.

    2. Понятие непрерывности функции. Непрерывность элементарных функций на области определения .

    3. Задача о мгновенной скорости (физический смысл производной) .

    4. Задача о касательной к графику функции (геометрический смысл производной) .

Урок 15. Определение производной. Правила дифференцирования.

  • План урока:

    1. Определение производной функции в точке как предела отношения приращения функции к приращению аргумента (при стремлении приращения аргумента к нулю) .

    2. Алгоритм нахождения производной.

    3. Таблица производных элементарных функций (производная степенной функции, синуса, косинуса) .

    4. Правила дифференцирования: производная суммы, произведения, частного, вынесение постоянного множителя .

Урок 16. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной.

  • План урока:

    1. Геометрический смысл: значение производной в точке есть угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке (f'(x₀) = k = tg α) .

    2. Вывод уравнения касательной к графику функции в точке: y = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀) .

    3. Алгоритм составления уравнения касательной.

Последнее изменение: понедельник, 23 февраля 2026, 20:12