Текст учебника. Урок 15. Определение производной. Правила дифференцирования.

1.1. Повторение понятий приращения
Пусть дана функция $y=f(x)$. Рассмотрим фиксированную точку $x_0$ и переменную точку $x=x_0+\mathrm{\Delta }x$, где $\mathrm{\Delta }x$ — приращение аргумента.
Тогда приращение функции в точке $x_0$:

$$\mathrm{\Delta }f=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$$

1.2. Определение производной
Производной функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю (если этот предел существует):

$$\boxed{{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}}}$$

Обозначения производной: $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, $y^{\mathrm{\prime }}$, $\frac{dy}{dx}$, $\frac{df}{dx}$.