Алгебра, полный курс для 10 класса

В реальных задачах мы редко имеем дело с абсолютно точными числами. Измерения всегда дают приближённое значение.

3.1. Абсолютная погрешность
Пусть $x$ — точное значение величины, а $a$ — её приближённое значение. Модуль разности между этими значениями называется абсолютной погрешностью приближения .

$$\mathrm{\Delta }=\mathrm{\mid }x-a\mathrm{\mid }$$

• Пример: При измерении длины стола линейкой с сантиметровыми делениями получили $a=120$ см. Точная длина $x$ может быть 120.5 см. Тогда абсолютная погрешность $\mathrm{\Delta }=\mathrm{\mid }120.5-120\mathrm{\mid }=0.5$ см.

Однако абсолютная погрешность не всегда информативна. Ошибка в 0.5 см велика для стола? Нет. А для диаметра микросхемы? Да. Поэтому вводят относительную погрешность.

3.2. Относительная погрешность
Относительная погрешность $\delta$ — это отношение абсолютной погрешности к модулю точного значения (или к модулю приближения, если точное неизвестно), выраженное чаще всего в процентах .

$$\delta =\frac{\mathrm{\Delta }}{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}\approx \frac{\mathrm{\Delta }}{\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }}$$$$\delta (\mathrm{\%})=\frac{\mathrm{\Delta }}{\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }}\cdot 100\mathrm{\%}$$

• Пример (продолжение): Для длины стола $\delta =\frac{0.5}{120}\approx 0.0042=0.42\mathrm{\%}$. Это малая погрешность. Если бы мы измеряли толщину провода $a=2$ мм с той же абсолютной погрешностью $\mathrm{\Delta }=0.5$ мм, то $\delta =0.5\mathrm{/}2=0.25=25\mathrm{\%}$ — это огромная ошибка.

3.3. Правила округления чисел
Чтобы уменьшить погрешность, используют правила округления :

1. Если первая отбрасываемая цифра больше или равна 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на 1.

   • Пример: 3.267 округлить до сотых → 3.27 (отбрасываем 7 ≥ 5).

2. Если первая отбрасываемая цифра меньше 5, то последняя сохраняемая цифра не меняется.

   • Пример: 12.342 округлить до десятых → 12.3 (отбрасываем 4 < 5).

3. При округлении целых чисел действует тот же принцип.

   • Пример: 456 789 округлить до тысяч → 457 000.

Важно: Округлять результат нужно только в конце вычислений, чтобы избежать накопления погрешности.

3.4. Прикидка и оценка результата
Прежде чем выполнять сложные вычисления на калькуляторе, полезно сделать прикидку — грубую оценку результата, округлив все числа до старших разрядов.

• Пример: Вычислить $\frac{47.3\cdot 12.95}{6.1}$. Прикидка: $\approx \frac{50\cdot 13}{6}=\frac{650}{6}\approx 108$. Точный результат должен быть близок к этому числу. Если при расчёте на калькуляторе получилось, например, 10.8 или 1080, вы сразу заметите ошибку (потерян порядок числа).