Текст учебника. Урок 3. Функция и её свойства. Область определения и множество значений.

Ключевая характеристика любой функции — множества, на которых она действует.

1. Область определения ($D(f)$ или $D_f$)
   Это множество всех значений, которые может принимать аргумент $x$ (независимая переменная).

   • Геометрический смысл: Все проекции точек графика на ось $Ox$.

   • Правила нахождения: При аналитическом задании нужно помнить "опасные" места:

     • Нельзя делить на ноль (знаменатель дроби $\mathrm{\ne }0$).

     • Под корнем чётной степени ($\sqrt{},\sqrt[4]{},\dots$) должно быть неотрицательное число ($\ge 0$).

   • Пример 1: $y=3x-1$. Область определения — все числа ($D(f)=\mathbb{R}$) (или $(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$).

   • Пример 2: $y=\frac{5}{x-2}$. Нельзя делить на ноль: $x-2\mathrm{\ne }0\Rightarrow x\mathrm{\ne }2$. $D(f)=(-\mathrm{\infty };2)\cup (2;+\mathrm{\infty })$.

   • Пример 3: $y=\sqrt{x-4}$. Подкоренное выражение: $x-4\ge 0\Rightarrow x\ge 4$. $D(f)=[4;+\mathrm{\infty })$.

2. Область (множество) значений ($E(f)$ или $E_f$)
   Это множество всех значений, которые принимает сама функция $y$.

   • Геометрический смысл: Все проекции точек графика на ось $Oy$.

   • Пример (по графику): Для параболы $y=x^2$ значения $y$ не бывают отрицательными. $E(f)=[0;+\mathrm{\infty })$.

Практическое задание (устно): Найти $D(f)$ для функций $y=\frac{1}{x}$ (все, кроме 0) и $y=\sqrt{5-x}$ ($x\le 5$).