Алгебра, полный курс для 10 класса

Рассмотрим свойства, которые позволяют описать поведение функции.

3.1. Нули функции
Это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($y=0$).

• Геометрический смысл: Точки пересечения графика с осью $Ox$.

• Как найти: Решить уравнение $f(x)=0$.

• Пример: $y=2x-8$. $2x-8=0\Rightarrow 2x=8\Rightarrow x=4$. Нуль функции: $x=4$.

3.2. Промежутки знакопостоянства
Это промежутки области определения, на которых функция принимает значения одного знака (только положительные или только отрицательные).

• Пример: Для функции $y=2x-8$:

  • $2x-8>0$ при $x>4$ (функция положительна).

  • $2x-8<0$ при $x<4$ (функция отрицательна).

3.3. Чётность и нечётность функции
Эти свойства характеризуют симметрию графика. Важно, чтобы область определения была симметрична относительно нуля (т.е. если $5\in D(f)$, то и $-5\in D(f)$).

• Чётная функция:

  • Определение: $f(-x)=f(x)$ для любого $x$ из области определения.

  • Геометрический смысл: График симметричен относительно оси $Oy$.

  • Пример: $y=x^2$, $y=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$, $y=x^4$. Проверка: $(-x{)}^2=x^2$.

• Нечётная функция:

  • Определение: $f(-x)=-f(x)$ для любого $x$ из области определения.

  • Геометрический смысл: График симметричен относительно начала координат (точки (0;0)).

  • Пример: $y=x$, $y=x^3$, $y=\frac{1}{x}$. Проверка: $(-x{)}^3=-x^3$.

• Функции общего вида: Функции, не обладающие этими свойствами (например, $y=x+1$).

3.4. Монотонность функции
Характеризует "поведение" функции: растёт она или убывает.

• Возрастающая функция: Функция называется возрастающей на промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

  • $x_2>x_1\Rightarrow f(x_2)>f(x_1)$. График "идёт вверх".

• Убывающая функция: Функция называется убывающей на промежутке, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

  • $x_2>x_1\Rightarrow f(x_2)<f(x_1)$. График "идёт вниз".

• Пример: $y=x^2$ убывает на промежутке $(-\mathrm{\infty };0]$ и возрастает на $[0;+\mathrm{\infty })$.

3.5. Ограниченность функции
Функция называется ограниченной снизу, если все её значения не меньше некоторого числа $m$ ($f(x)\ge m$).
Функция называется ограниченной сверху, если все её значения не больше некоторого числа $M$ ($f(x)\le M$).
Функция называется ограниченной, если она ограничена и снизу, и сверху.

• Геометрически: График целиком лежит в горизонтальной полосе.

• Примеры:

  • $y=x^2$ ограничена снизу ($y\ge 0$), но не ограничена сверху.

  • $y=\sin x$ ограничена ($-1\le \sin x\le 1$).