Текст учебника. Урок 7. Степень с рациональным показателем.

Все свойства степеней, известные нам для целых показателей, полностью сохраняются и для рациональных показателей (при условии, что основания положительны).

Пусть $a>0,b>0$, а $p,q\in \mathbb{Q}$. Тогда:

1. Умножение степеней с одинаковыми основаниями:

   $$a^p\cdot a^q=a^{p+q}$$

   Пример: $5^{1\mathrm{/}2}\cdot 5^{1\mathrm{/}3}=5^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=5^{\frac{3+2}{6}}=5^{5\mathrm{/}6}$

2. Деление степеней с одинаковыми основаниями:

   $$a^p:a^q=a^{p-q}$$

   Пример: $7^{3\mathrm{/}4}:7^{1\mathrm{/}2}=7^{\frac{3}{4}-\frac{1}{2}}=7^{\frac{3-2}{4}}=7^{1\mathrm{/}4}$

3. Возведение степени в степень:

   $$(a^p{)}^q=a^{p\cdot q}$$

   Пример: $(8^{2\mathrm{/}3}{)}^{3\mathrm{/}2}=8^{\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}}=8^1=8$

4. Степень произведения:

   $$(ab{)}^p=a^p\cdot b^p$$

   Пример: $(4\cdot 9{)}^{1\mathrm{/}2}=4^{1\mathrm{/}2}\cdot 9^{1\mathrm{/}2}=2\cdot 3=6$ (что равно $\sqrt{36}=6$)

5. Степень частного:

   $${\left(\frac{a}{b}\right)}^p=\frac{a^p}{b^p}$$

   Пример: ${\left(\frac{27}{8}\right)}^{1\mathrm{/}3}=\frac{{27}^{1\mathrm{/}3}}{8^{1\mathrm{/}3}}=\frac{3}{2}$

Вывод: Благодаря этим свойствам, с дробными показателями можно работать так же, как и с целыми, что часто упрощает вычисления.