Текст учебника. Урок 15. Определение производной. Правила дифференцирования.

Пользуясь определением, можно вывести формулы производных для разных функций. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Зафиксировать точку $x$ и дать аргументу приращение $\mathrm{\Delta }x$, перейти в точку $x+\mathrm{\Delta }x$.

2. Найти приращение функции: $\mathrm{\Delta }f=f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)$.

3. Составить отношение приращения функции к приращению аргумента: $\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }x}$.

4. Найти предел этого отношения при $\mathrm{\Delta }x\to 0$: ${\lim }_{\mathrm{\Delta }x\to 0}\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }x}$. Полученное число и есть $f^{\mathrm{\prime }}(x)$.

Пример 1: Найти производную функции $f(x)=x^2$ по алгоритму.

• Решение:

  1. $f(x+\mathrm{\Delta }x)=(x+\mathrm{\Delta }x{)}^2=x^2+2x\mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2$.

  2. $\mathrm{\Delta }f=(x^2+2x\mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2)-x^2=2x\mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2$.

  3. $\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{2x\mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2}{\mathrm{\Delta }x}=2x+\mathrm{\Delta }x$ (при $\mathrm{\Delta }x\mathrm{\ne }0$).

  4. ${\lim }_{\mathrm{\Delta }x\to 0}(2x+\mathrm{\Delta }x)=2x$.
     Ответ: $(x^2{)}^{\mathrm{\prime }}=2x$.