Алгебра, полный курс для 10 класса

1.1. Определение
Степенная функция с натуральным показателем — это функция вида $y=x^n$, где $n$ — натуральное число ($n=1,2,3,4,\dots$).

1.2. Анализ свойств в зависимости от чётности $n$
Свойства функций $y=x^n$ существенно различаются для чётных и нечётных показателей.

Случай 1: $n$ — чётное ($n=2,4,6,\dots$)

• Типичный представитель: $y=x^2$, $y=x^4$.

• Область определения: $D(f)=\mathbb{R}$ (все действительные числа).

• Область значений: $E(f)=[0;+\mathrm{\infty })$. Функция принимает только неотрицательные значения.

• Чётность: Чётная функция ($f(-x)=f(x)$). График симметричен относительно оси $Oy$.

• Монотонность: Убывает на промежутке $(-\mathrm{\infty };0]$, возрастает на промежутке $[0;+\mathrm{\infty })$.

• График: Проходит через точки $(-1;1)$, $(0;0)$, $(1;1)$. Чем больше $n$, тем ближе к оси $Ox$ график при $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<1$ и тем круче подъём при $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }>1$. График похож на параболу, но с более "плоским" дном и более крутыми ветвями (для $x^4$ по сравнению с $x^2$).

Случай 2: $n$ — нечётное ($n=1,3,5,\dots$)

• Типичный представитель: $y=x$ (прямая), $y=x^3$, $y=x^5$.

• Область определения: $D(f)=\mathbb{R}$.

• Область значений: $E(f)=\mathbb{R}$ (все действительные числа).

• Чётность: Нечётная функция ($f(-x)=-f(x)$). График симметричен относительно начала координат.

• Монотонность: Возрастает на всей области определения ($\mathbb{R}$).

• График: Проходит через точки $(-1;-1)$, $(0;0)$, $(1;1)$. Для $y=x^3$ график — кубическая парабола. Чем выше степень, тем ближе график прижимается к оси $Ox$ в окрестности нуля и тем круче уходит вверх/вниз вдали от нуля.

Визуализация: Учитель демонстрирует на одном слайде графики $y=x^2$ и $y=x^4$, затем $y=x^3$ и $y=x^5$, комментируя различия.