Свободные электромагнитные колебания. Колебательный контур

1. Колебательный контур

Колебательный контур — это простейшая система, в которой могут возникать свободные электромагнитные колебания. Он состоит из двух основных элементов:

• конденсатора (ёмкостью $C$), накапливающего электрическую энергию;

• катушки индуктивности (индуктивностью $L$), в которой запасается энергия магнитного поля.

Принцип работы колебательного контура

1. Зарядка конденсатора. Конденсатор заряжают от источника тока, создавая на его обкладках заряд $q$ и напряжение $U$. Энергия электрического поля:

   $$W_{\text{эл}}=\frac{C{U}^2}{2}=\frac{q^2}{2C}\mathrm{.}$$
   

2. Разрядка через катушку. При замыкании цепи конденсатор разряжается через катушку, создавая переменный ток.

3. Возникновение ЭДС самоиндукции. Ток в катушке порождает магнитное поле, которое, изменяясь, создаёт ЭДС самоиндукции, препятствующую мгновенному исчезновению тока.

4. Перезарядка конденсатора. Энергия магнитного поля катушки преобразуется обратно в энергию электрического поля конденсатора, но с противоположной полярностью.

Процесс повторяется, возникают периодические колебания заряда, тока и напряжения.

2. Формула Томсона. Период колебаний

Период свободных электромагнитных колебаний в идеальном контуре (без потерь) определяется формулой Томсона:

$$T=2\pi \sqrt{LC},$$

где:

• $T$ — период колебаний (с),

• $L$ — индуктивность катушки (Гн),

• $C$ — ёмкость конденсатора (Ф).

Вывод формулы

Аналогия с механическими колебаниями (пружинный маятник $T=2\pi \sqrt{m\mathrm{/}k}$

• Ёмкость $C$ аналогична массе $m$ (инертность системы).

• Индуктивность $L$ аналогична жёсткости пружины $k$ (возвращающая сила).

Пример расчёта:
Дано: $L=0,1\text{Гн}$, $C=10\text{мкФ}=10\times {10}^{-6}\text{Ф}$
Найдём период:

$$T=2\pi \sqrt{0,1\times 10\times {10}^{-6}}=2\pi \times {10}^{-3}\approx 6,28\text{мс}\mathrm{.}$$

3. Превращение энергии в колебательном контуре

В идеальном контуре (без сопротивления) полная энергия сохраняется, но непрерывно переходит из одной формы в другую:

1. Максимальная энергия в конденсаторе (в момент полного заряда):

   $$W_{\text{эл}}=\frac{q_{max}^2}{2C}\mathrm{.}$$
   

2. Максимальная энергия в катушке (при максимальном токе):

   $$W_{\text{магн}}=\frac{L{I}_{max}^2}{2}\mathrm{.}$$
   

В любой момент времени сумма энергий остаётся постоянной:

$$W_{\text{полн}}=W_{\text{эл}}+W_{\text{магн}}=\text{const}\mathrm{.}$$

Графики колебаний

• Заряд $q(t)$ и напряжение $U(t)$ изменяются по закону косинуса.

• Ток $I(t)$ — по закону синуса (опережает напряжение на $\pi \mathrm{/}2$).

Заключение

Колебательный контур — основа радиотехники, генераторов сигналов и фильтров. Понимание его работы важно для изучения электромагнитных волн и передачи информации.

Контрольные вопросы:

1. Из каких элементов состоит колебательный контур?

2. Как зависит период колебаний от $L$ и $C$?

3. Куда девается энергия в реальном контуре?

Задачи для самостоятельного решения:

1. Рассчитайте период колебаний, если $L=2\text{Гн}$, $C=50\text{мкФ}$.

2. Как изменится частота колебаний, если ёмкость увеличить в 4 раза?