Текст учебника. Урок 8. Иррациональные уравнения и неравенства.

Решение иррациональных неравенств сложнее, чем уравнений, так как знак неравенства накладывает дополнительные ограничения.

3.1. Неравенство вида $\sqrt{f(x)}<g(x)$
Так как корень чётной степени всегда неотрицателен, неравенство $\sqrt{f(x)}<g(x)$ может иметь решение только если $g(x)>0$. Кроме того, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Система равносильности:

$$\sqrt{f(x)}<g(x)\iff \{\begin{array}{l}f(x)\ge 0\\ g(x)>0\\ f(x)<(g(x){)}^2\end{array}$$

• Пример 4: Решить $\sqrt{x+3}<2$.

  • Решение:

    $$\{\begin{array}{l}x+3\ge 0\\ 2>0(\text{выполняется всегда})\\ x+3<4\end{array}$$$$\{\begin{array}{l}x\ge -3\\ x<1\end{array}$$

  • Ответ: $[-3;1)$.

3.2. Неравенство вида $\sqrt{f(x)}>g(x)$
Здесь ситуация сложнее, так как правая часть может быть как положительной, так и отрицательной. Нужно рассматривать два случая.

Система равносильности (совокупность двух систем):

$$\sqrt{f(x)}>g(x)\iff [\begin{array}{c}{\displaystyle \{\begin{array}{l}g(x)\ge 0\\ f(x)>(g(x){)}^2\\ f(x)\ge 0(\text{уже учтено в }f(x)>(g(x){)}^2\text{, но лучше добавить})\end{array}}\\ {\displaystyle \{\begin{array}{l}g(x)<0\\ f(x)\ge 0\end{array}}\end{array}$$

Пояснение: Если $g(x)<0$, то неравенство $\sqrt{f(x)}>\text{(отрицательное число)}$ выполняется автоматически для всех $x$ из ОДЗ, так как корень неотрицателен.

• Пример 5: Решить $\sqrt{x+5}>x-1$.

  • Решение:
    Рассмотрим два случая.

    Случай 1: $x-1\ge 0$ (правая часть неотрицательна).

    $$\{\begin{array}{l}x\ge 1\\ x+5\ge 0(\text{выполняется при }x\ge 1)\\ x+5>(x-1{)}^2\end{array}$$

    Решаем неравенство: $x+5>x^2-2x+1\Rightarrow 0>x^2-3x-4\Rightarrow x^2-3x-4<0$.
    Корни: $x=4$ и $x=-1$. Решение неравенства: $-1<x<4$. С учётом условия $x\ge 1$ получаем: $[1;4)$.

    Случай 2: $x-1<0$ (правая часть отрицательна).

    $$\{\begin{array}{l}x<1\\ x+5\ge 0\end{array}$$

    Получаем: $-5\le x<1$.

    Объединяем решения двух случаев: $[-5;1)\cup [1;4)=[-5;4)$.

  • Ответ: $[-5;4)$.