Алгебра, полный курс для 10 класса

2.1. Построение окружности
Тригонометрическая (единичная) окружность — это окружность с центром в начале координат (0;0) и радиусом, равным 1.

• Положительное направление углов — против часовой стрелки.

• Отрицательное направление — по часовой стрелке.

Нанесём на окружность основные точки, соответствующие углам поворота: 0, $\pi \mathrm{/}2$, $\pi$, $3\pi \mathrm{/}2$, $2\pi$.

2.2. Определение синуса и косинуса
Рассмотрим на единичной окружности точку $P_{\alpha }$, полученную поворотом точки $P_0(1;0)$ на угол $\alpha$. Эта точка имеет координаты $(x;y)$.

Определение:

• Синусом угла $\alpha$ называется ордината (координата $y$) точки $P_{\alpha }$ на единичной окружности.

  $$\sin \alpha =y$$

• Косинусом угла $\alpha$ называется абсцисса (координата $x$) точки $P_{\alpha }$ на единичной окружности.

  $$\cos \alpha =x$$

2.3. Определение тангенса и котангенса
Тангенс угла — это отношение синуса к косинусу:

$$\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$$

(Определён для углов, где $\cos \alpha \mathrm{\ne }0$, т.е. $\alpha \mathrm{\ne }\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$).

Котангенс угла — это отношение косинуса к синусу:

$$\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$$

(Определён для углов, где $\sin \alpha \mathrm{\ne }0$, т.е. $\alpha \mathrm{\ne }\pi k,k\in \mathbb{Z}$).

2.4. Примеры нахождения значений
Используя геометрические соображения (прямоугольные треугольники), найдём значения для основных углов.

• $\alpha =0$ ($0^{\circ }$): Точка $P_0(1;0)$. $\sin 0=0$, $\cos 0=1$, $\mathrm{t}\mathrm{g}0=0\mathrm{/}1=0$, $\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}0$ — не определён (деление на 0).

• $\alpha =\pi \mathrm{/}2$ (${90}^{\circ }$): Точка $P_{\pi \mathrm{/}2}(0;1)$. $\sin \pi \mathrm{/}2=1$, $\cos \pi \mathrm{/}2=0$, $\mathrm{t}\mathrm{g}\pi \mathrm{/}2$ — не определён, $\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\pi \mathrm{/}2=0\mathrm{/}1=0$.

• $\alpha =\pi \mathrm{/}6$ (${30}^{\circ }$): Построив прямоугольный треугольник с гипотенузой 1 и углом ${30}^{\circ }$, получим катеты $1\mathrm{/}2$ и $\sqrt{3}\mathrm{/}2$. Так как точка лежит в I четверти, обе координаты положительны. $\sin \pi \mathrm{/}6=1\mathrm{/}2$, $\cos \pi \mathrm{/}6=\sqrt{3}\mathrm{/}2$. Тогда $\mathrm{t}\mathrm{g}\pi \mathrm{/}6=1\mathrm{/}\sqrt{3}=\sqrt{3}\mathrm{/}3$, $\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\pi \mathrm{/}6=\sqrt{3}$.