Текст учебника. Урок 10. Основные соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента. | Зависимости между тангенсом, котангенсом, синусом и косинусом

SDAVALKA

Тема: Основные соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента.

Тип урока: Урок изучения нового материала.
Цели урока:

Вывести и закрепить основное тригонометрическое тождество и следствия из него.
Установить связи между тангенсом, котангенсом, синусом и косинусом одного и того же аргумента.
Вывести формулы, связывающие квадраты тангенса и котангенса с косинусом и синусом.
Сформировать умение применять эти соотношения для преобразования тригонометрических выражений и нахождения значений функций по одной известной.

Оборудование: Учебник, проектор, раздаточный материал с заданиями, презентация.

На прошлом уроке мы ввели определения тангенса и котангенса. Запишем их ещё раз и установим связь между ними.

Определения:

$t g α = \frac{\sin α}{\cos α} (\cos α \neq 0)$ $c t g α = \frac{\cos α}{\sin α} (\sin α \neq 0)$

Связь тангенса и котангенса:
Перемножим эти два выражения:

$t g α \cdot c t g α = \frac{\sin α}{\cos α} \cdot \frac{\cos α}{\sin α} = 1$

Получаем важное соотношение:

$t g α \cdot c t g α = 1$

или

$c t g α = \frac{1}{t g α}$

Пример 2: Найти $t g α$ и $c t g α$ , если $\sin α = \frac{1}{2}$ и $α$ — угол I четверти.

Решение:
1. Найдём $\cos α$ : $\cos α = \sqrt{1 - (1 / 2)^{2}} = \sqrt{1 - 1 / 4} = \sqrt{3 / 4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (знак "+", так как I четверть).
2. $t g α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{1 / 2}{\sqrt{3} / 2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .
3. $c t g α = \frac{1}{t g α} = \sqrt{3}$ .