Текст учебника. Урок 10. Основные соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента.

Эти формулы часто используются при преобразовании сложных выражений и при интегрировании в старших классах.

3.1. Связь тангенса и косинуса
Выведем формулу: $1+{\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$.

• Доказательство:

  $$1+{\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\alpha =1+\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }$$

  Числитель, по основному тригонометрическому тождеству, равен 1. Следовательно:

  $$\boxed{{\displaystyle 1+{\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }}}$$

  (Формула справедлива при $\cos \alpha \mathrm{\ne }0$, т.е. $\alpha \mathrm{\ne }\frac{\pi }{2}+\pi k$)

3.2. Связь котангенса и синуса
Аналогично выведем формулу: $1+{\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$.

• Доказательство:

  $$1+{\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\alpha =1+\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$$$$\boxed{{\displaystyle 1+{\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }}}$$

  (Формула справедлива при $\sin \alpha \mathrm{\ne }0$, т.е. $\alpha \mathrm{\ne }\pi k$)

Пример 3: Найти $\cos \alpha$, если $\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha =2$ и $\alpha$ лежит в III четверти.

• Решение:

  1. Используем формулу $1+{\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$:

     $$1+2^2=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\Rightarrow 1+4=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\Rightarrow 5=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$$

  2. Отсюда ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{5}$.

  3. Значит, $\cos \alpha =\pm \frac{1}{\sqrt{5}}=\pm \frac{\sqrt{5}}{5}$.

  4. Определяем знак: в III четверти косинус отрицателен. Выбираем знак "минус".
     Ответ: $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{5}$.

Пример 4: Упростить выражение $\frac{1}{1+{\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\alpha }$.

• Решение:
  Так как $1+{\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$, то обратная величина:

  $$\frac{1}{1+{\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\alpha }={\cos }^2\alpha$$

  Ответ: ${\cos }^2\alpha$.