Текст учебника. Урок 10. Основные соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента. | Систематизация и применение

SDAVALKA

Тема: Основные соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента.

Тип урока: Урок изучения нового материала.
Цели урока:

Вывести и закрепить основное тригонометрическое тождество и следствия из него.
Установить связи между тангенсом, котангенсом, синусом и косинусом одного и того же аргумента.
Вывести формулы, связывающие квадраты тангенса и котангенса с косинусом и синусом.
Сформировать умение применять эти соотношения для преобразования тригонометрических выражений и нахождения значений функций по одной известной.

Оборудование: Учебник, проектор, раздаточный материал с заданиями, презентация.

Все выведенные формулы можно представить в виде схемы:

Квадраты: $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ — основа.
Отношения: $t g α = \frac{\sin α}{\cos α}$ ; $c t g α = \frac{\cos α}{\sin α}$ .
Произведение: $t g α \cdot c t g α = 1$ .
Связь с единицей: $1 + {t g}^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α}$ ; $1 + {c t g}^{2} α = \frac{1}{\sin^{2} α}$ .

Комплексный пример 5: Известно, что $\cos α = - 0.8$ и $π < α < \frac{3 π}{2}$ (III четверть). Найти все остальные тригонометрические функции.

Решение:
1. Находим $\sin α$ через ОТТ: $\sin^{2} α = 1 - \cos^{2} α = 1 - 0.64 = 0.36$ . Значит, $\sin α = \pm 0.6$ . В III четверти синус отрицателен, поэтому $\sin α = - 0.6$ .
2. Находим $t g α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{- 0.6}{- 0.8} = \frac{3}{4} = 0.75$ .
3. Находим $c t g α = \frac{1}{t g α} = \frac{4}{3} \approx 1.333$ .
  Ответ: $\sin α = - 0.6; t g α = 0.75; c t g α = \frac{4}{3}$ .