Текст учебника. Урок 13. Формулы сложения и их следствия.

1.1. Основные формулы
Запишем ключевые формулы сложения. Их строгий вывод довольно громоздок, но геометрически их можно проиллюстрировать с помощью поворотов векторов на единичной окружности.

Косинус суммы и разности:

$$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$$$$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$$

Синус суммы и разности:

$$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$$$$\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$$

Важно: Эти формулы верны для любых углов $\alpha$ и $\beta$.

1.2. Примеры применения

Пример 1: Вычислить $\cos {15}^{\circ }$, представив ${15}^{\circ }={45}^{\circ }-{30}^{\circ }$.

• Решение:

  $$\cos {15}^{\circ }=\cos ({45}^{\circ }-{30}^{\circ })=\cos {45}^{\circ }\cos {30}^{\circ }+\sin {45}^{\circ }\sin {30}^{\circ }$$$$=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$

Пример 2: Вычислить $\sin {75}^{\circ }$, представив ${75}^{\circ }={45}^{\circ }+{30}^{\circ }$.

• Решение:

  $$\sin {75}^{\circ }=\sin ({45}^{\circ }+{30}^{\circ })=\sin {45}^{\circ }\cos {30}^{\circ }+\cos {45}^{\circ }\sin {30}^{\circ }$$$$=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$

  (Интересно, что $\sin {75}^{\circ }=\cos {15}^{\circ }$).

Пример 3: Упростить $\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )$.

• Решение:

  $$(\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta )-(\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta )=2\cos \alpha \sin \beta$$