Текст учебника. Урок 13. Формулы сложения и их следствия.

Формулы двойного угла являются прямым следствием формул сложения, если положить $\beta =\alpha$.

2.1. Синус двойного угла

$$\sin 2\alpha =\sin (\alpha +\alpha )=\sin \alpha \cos \alpha +\cos \alpha \sin \alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$$$$\boxed{{\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha }}$$

2.2. Косинус двойного угла

$$\cos 2\alpha =\cos (\alpha +\alpha )=\cos \alpha \cos \alpha -\sin \alpha \sin \alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$$$$\boxed{{\displaystyle \cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha }}$$

Важно: Используя основное тригонометрическое тождество ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$, можно получить ещё две полезные формы записи косинуса двойного угла:

$$\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$$$$\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$$

Эти формы часто используются для понижения степени.

2.3. Тангенс двойного угла

$$\mathrm{t}\mathrm{g}2\alpha =\frac{\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha }=\frac{2\sin \alpha \cos \alpha }{{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha }=\frac{2\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha }{1-{\mathrm{t}\mathrm{g}}^2\alpha }$$

(При условии, что $\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha$ определён и $\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha \mathrm{\ne }\pm 1$).

Пример 4: Известно, что $\sin \alpha =\frac{3}{5}$ и $\alpha$ — угол II четверти. Найти $\sin 2\alpha$.

• Решение:

  1. Находим $\cos \alpha$ во II четверти: $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5}$.

  2. $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \frac{3}{5}\cdot (-\frac{4}{5})=-\frac{24}{25}$.

Пример 5: Упростить $\frac{\sin 2\alpha }{\sin \alpha }-\frac{\cos 2\alpha }{\cos \alpha }$.

• Решение:

  $$\frac{2\sin \alpha \cos \alpha }{\sin \alpha }-\frac{{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha }{\cos \alpha }=2\cos \alpha -(\frac{{\cos }^2\alpha }{\cos \alpha }-\frac{{\sin }^2\alpha }{\cos \alpha })$$$$=2\cos \alpha -\cos \alpha +\frac{{\sin }^2\alpha }{\cos \alpha }=\cos \alpha +\frac{{\sin }^2\alpha }{\cos \alpha }=\frac{{\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha }{\cos \alpha }=\frac{1}{\cos \alpha }$$