Алгебра, полный курс для 10 класса

2.1. Наглядное представление
Непрерывность функции — это свойство, которое на интуитивном уровне означает, что график функции можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги.

2.2. Определение через предел
Строгое определение: Функция $y=f(x)$ называется непрерывной в точке $a$, если:

1. Она определена в этой точке ($f(a)$ существует).

2. Существует предел функции при $x\to a$.

3. Этот предел равен значению функции в точке $a$: ${\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$.

Если функция непрерывна в каждой точке своей области определения, то её называют непрерывной функцией.

2.3. Непрерывность элементарных функций
Важнейший факт: все изученные нами элементарные функции (степенные, тригонометрические, показательные, логарифмические, а также их комбинации) являются непрерывными на всей своей области определения.

• Примеры: Многочлены ( $y=x^2$ ) непрерывны на $\mathbb{R}$. Функция $y=\sin x$ непрерывна на $\mathbb{R}$. Функция $y=\frac{1}{x}$ непрерывна на каждом из промежутков $(-\mathrm{\infty };0)$ и $(0;+\mathrm{\infty })$, но в точке $x=0$ имеет разрыв (там она не определена).