Текст учебника. Урок 16. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной.

Пример 2 (базовый): Составить уравнение касательной к графику функции $f(x)=x^2-3x+2$ в точке с абсциссой $x_0=2$.

Решение по алгоритму:

1. $x_0=2$.

2. $y_0=f(2)=2^2-3\cdot 2+2=4-6+2=0$.

3. Производная: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x-3$.

4. $f^{\mathrm{\prime }}(2)=2\cdot 2-3=4-3=1$.

5. Подставляем в формулу: $y=0+1\cdot (x-2)$.

6. Ответ: $y=x-2$.

Пример 3 (с упрощением): Составить уравнение касательной к графику функции $f(x)=\sin x$ в точке $x_0=\pi$.

Решение:

1. $x_0=\pi$.

2. $y_0=\sin \pi =0$.

3. $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\cos x$.

4. $f^{\mathrm{\prime }}(\pi )=\cos \pi =-1$.

5. $y=0+(-1)\cdot (x-\pi )$.

6. Ответ: $y=-x+\pi$.

Пример 4 (более сложный): Найти уравнение касательной к графику функции $f(x)=\frac{1}{x}$ в точке с ординатой $y_0=\frac{1}{2}$.

Решение:
Здесь нужно сначала найти $x_0$.

1. Найдём $x_0$ из условия $f(x_0)=\frac{1}{2}$:

   \frac{1}{x_0} = \frac{1}{2} \Rightarrow x_0 = 2 \].

2. $y_0=\frac{1}{2}$ (уже дано).

3. Производная: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{1}{x^2}$.

4. $f^{\mathrm{\prime }}(2)=-\frac{1}{4}$.

5. Уравнение: $y=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}(x-2)=\frac{1}{2}-\frac{x}{4}+\frac{1}{2}=1-\frac{x}{4}$.

6. Ответ: $y=1-\frac{x}{4}$ или $y=-\frac{x}{4}+1$.

Пример 5 (применение условия касания): Найти угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)=x^3-2x$ в точке $x_0=-1$.

Решение:
Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания.

1. $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-2$.

2. $f^{\mathrm{\prime }}(-1)=3\cdot (-1{)}^2-2=3-2=1$.
   Ответ: $k=1$.