Алгебра, полный курс для 10 класса

1.1. Введение понятия
Вспомним: корень квадратный из числа $a$ — это такое число, квадрат которого равен $a$.
По аналогии:
Корнем n-й степени из числа $a$ ($n\in \mathbb{N},n\ge 2$) называется такое число $b$, $n$-я степень которого равна $a$, то есть $b^n=a$.

Обозначение: $\sqrt[n]{a}=b$, где $n$ — показатель корня, $a$ — подкоренное выражение.

1.2. Важнейший нюанс: чётность и знак числа
В зависимости от чётности $n$ и знака $a$ количество корней может быть разным.

1. Если $n$ — нечётное число ($n=3,5,7,\dots$):

   • Корень нечётной степени существует для любого действительного числа $a$ (и положительного, и отрицательного, и нуля).

   • Причём этот корень единственный и имеет тот же знак, что и подкоренное выражение.

   • Примеры:

     • $\sqrt[3]{8}=2$, так как $2^3=8$.

     • $\sqrt[3]{-8}=-2$, так как $(-2{)}^3=-8$.

     • $\sqrt[5]{0}=0$.

2. Если $n$ — чётное число ($n=2,4,6,\dots$):

   • Корень чётной степени существует только для неотрицательных чисел ($a\ge 0$).

   • Для положительного $a$ существует два противоположных числа, $n$-я степень которых равна $a$ (например, $2^4=16$ и $(-2{)}^4=16$). Но возникает путаница: какое из них считать корнем?

Чтобы избежать неоднозначности, вводится специальное понятие.