Алгебра, полный курс для 10 класса
Тема: Иррациональные уравнения и неравенства.
Тип урока: Урок изучения нового материала и формирования умений и навыков.
Цели урока:
-
Сформировать понятие иррационального уравнения, рассмотреть проблему равносильности преобразований, потери и приобретения корней.
-
Изучить основной метод решения иррациональных уравнений — возведение обеих частей в степень, проанализировать условия его корректности для чётных и нечётных степеней.
-
Рассмотреть метод решения иррациональных неравенств общего вида, основанный на равносильных переходах к системам.
-
Развивать логическое мышление и навыки анализа области допустимых значений.
Оборудование: Учебник, проектор, раздаточный материал с алгоритмами, презентация.
1. Определение иррационального уравнения. Равносильность
1.1. Определение
Иррациональным уравнением называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня (радикала) или под знаком возведения в дробную степень.
-
Примеры: , , .
1.2. Понятие равносильности
Равносильными (эквивалентными) называются уравнения, у которых множества решений совпадают. В процессе решения мы заменяем исходное уравнение более простым, но при этом важно не нарушить равносильность.
1.3. Посторонние корни и потеря решений
При решении иррациональных уравнений мы часто выполняем преобразования, которые могут привести к появлению посторонних корней или к потере решений.
-
Посторонние корни возникают, когда мы выполняем преобразование, расширяющее область допустимых значений (ОДЗ) уравнения, или когда возводим обе части в чётную степень без проверки знаков.
-
Потеря корней происходит при делении обеих частей на выражение, содержащее переменную, или при "заужении" ОДЗ.
Главное правило: При решении иррациональных уравнений обязательна проверка найденных корней подстановкой в исходное уравнение, если мы не следили за равносильностью переходов.