Алгебра, полный курс для 10 класса

1.1. Что такое радиан?
Радиан — это угол, соответствующий дуге окружности, длина которой равна радиусу этой окружности.

Рассмотрим окружность радиуса $R$. Если мы отложим на окружности дугу, длина которой равна $R$, то центральный угол, опирающийся на эту дугу, и будет равен 1 радиану.

1.2. Связь радианов и градусов
Длина всей окружности равна $2\pi R$. Значит, полный оборот (360°) содержит $2\pi$ радиан. Отсюда получаем основную формулу перехода:

$${360}^{\circ }=2\pi \text{ рад}$$

Следовательно:

$${180}^{\circ }=\pi \text{ рад}$$

Формулы перевода:

1. Чтобы перевести градусы в радианы, нужно умножить на $\frac{\pi }{180}$:

   $${\alpha }^{\circ }=\alpha \cdot \frac{\pi }{180}\text{ рад}$$

2. Чтобы перевести радианы в градусы, нужно умножить на $\frac{180}{\pi }$:

   $$\alpha \text{ рад}=\alpha \cdot \frac{180}{\pi }\text{ градусов}$$

Примеры:

• ${30}^{\circ }=30\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{\pi }{6}$ рад.

• ${45}^{\circ }=\frac{\pi }{4}$ рад.

• ${60}^{\circ }=\frac{\pi }{3}$ рад.

• ${90}^{\circ }=\frac{\pi }{2}$ рад.

• $\frac{\pi }{3}$ рад = $\frac{\pi }{3}\cdot \frac{180}{\pi }={60}^{\circ }$.

• $\frac{3\pi }{2}$ рад = $\frac{3\pi }{2}\cdot \frac{180}{\pi }={270}^{\circ }$.

Важно: В тригонометрии часто опускают обозначение "рад", и если написано, например, $\sin \frac{\pi }{3}$, то подразумевается, что аргумент взят в радианах.