Текст учебника. Урок 14. Понятие о пределе и непрерывности функции. Задачи, приводящие к понятию производной.

1.1. Предел функции в точке
Рассмотрим функцию $y=f(x)$. Что происходит со значением функции, когда аргумент $x$ приближается к некоторому числу $a$? Если значения $f(x)$ при этом приближаются к некоторому числу $L$, то говорят, что $L$ — предел функции при $x$, стремящемся к $a$.

• Нестрогое определение: Предел функции $f(x)$ при $x\to a$ равен $L$, если для всех $x$, достаточно близких к $a$ (но не равных $a$), значение функции $f(x)$ как угодно близко к $L$.

Пример 1: Рассмотрим функцию $f(x)=2x+1$ при $x\to 3$. Если $x=2.9$, $f=6.8$; $x=2.99$, $f=6.98$; $x=3.01$, $f=7.02$. Очевидно, что значения функции приближаются к 7. Говорим: ${\lim }_{x\to 3}(2x+1)=7$.

Пример 2: Рассмотрим функцию $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$. В точке $x=1$ функция не определена. Но что происходит при приближении к 1? Сократим дробь: при $x\mathrm{\ne }1$, $f(x)=x+1$. Значит, при $x\to 1$, $f(x)\to 2$. Предел существует и равен 2, хотя сама функция в точке 1 не существует.

1.2. Предел на бесконечности
Рассмотрим поведение функции при неограниченном возрастании аргумента ($x\to +\mathrm{\infty }$ или $x\to -\mathrm{\infty }$).

Пример 3: $f(x)=\frac{1}{x}$. При $x\to +\mathrm{\infty }$, $1\mathrm{/}x$ становится очень маленьким положительным числом, стремясь к 0. Говорим: ${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}\frac{1}{x}=0$. Это значит, что график функции приближается к оси $Ox$ (горизонтальная асимптота).