Движение по окружности

1. Криволинейное движение

Движение тела, траектория которого представляет собой кривую линию, называется криволинейным. Примерами такого движения могут служить:

• движение планет вокруг Солнца,

• поворот автомобиля на дороге,

• вращение колеса,

• полёт мяча, брошенного под углом к горизонту.

Направление скорости при криволинейном движении всегда совпадает с касательной к траектории в данной точке.

2. Угловая скорость

При движении по окружности удобно использовать угловую скорость ($\omega$) – величину, показывающую, на какой угол поворачивается радиус-вектор точки за единицу времени.

$$\omega =\frac{\mathrm{\Delta }\varphi }{\mathrm{\Delta }t}$$

Единица измерения – радиан в секунду (рад/с).

Связь линейной и угловой скорости

Линейная скорость ($v$) связана с угловой формулой:

$$v=\omega R$$

где $R$ – радиус окружности.

Пример:
Если два тела вращаются с одинаковой угловой скоростью, но одно находится ближе к центру, а другое дальше, то линейная скорость второго будет больше.

3. Центростремительное ускорение

При равномерном движении по окружности скорость меняет направление, значит, существует ускорение, направленное к центру окружности – центростремительное ускорение ($a$).

$$a=\frac{v^2}{R}\text{или}a={\omega }^{2}R$$

Направление ускорения – всегда к центру окружности.

Пример:
Когда автомобиль входит в поворот, пассажиров "прижимает" к внешней стороне – это действие центростремительного ускорения.

4. Период и частота вращения

Период вращения ($T$)

– время, за которое тело совершает один полный оборот по окружности.

Частота вращения ($\nu$)

– число оборотов за единицу времени (обычно за секунду).

$$\nu =\frac{1}{T}\text{(Гц – герцы)}$$

Связь с угловой скоростью

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi \nu$$

Пример:
Если колесо делает 60 оборотов в минуту ($\nu =1$ Гц), то его угловая скорость:

$$\omega =2\pi \cdot 1=2\pi \text{рад/с}$$

Выводы

1. Криволинейное движение – движение по кривой траектории, скорость направлена по касательной.

2. Угловая скорость показывает быстроту изменения угла поворота.

3. Центростремительное ускорение возникает при движении по окружности и направлено к центру.

4. Период и частота вращения связаны с угловой скоростью.

Примеры решения задач

Задача 1.
Автомобиль движется по окружности радиусом 100 м со скоростью 20 м/с. Найдите центростремительное ускорение.

Решение:

$$a=\frac{v^2}{R}=\frac{{20}^2}{100}=4{\text{м/с}}^2$$

Задача 2.
Колесо велосипеда делает 120 оборотов за минуту. Найдите его период и угловую скорость.

Решение:

1. Частота:

$$\nu =\frac{120}{60}=2\text{Гц}$$

2. Период:

$$T=\frac{1}{\nu }=0,5\text{с}$$

3. Угловая скорость:

$$\omega =2\pi \nu =4\pi \text{рад/с}$$

Контрольные вопросы:

1. Как направлена скорость при движении по окружности?

2. В чём разница между линейной и угловой скоростью?

3. Почему при движении по окружности возникает ускорение, даже если скорость постоянна по модулю?

4. Как связаны период и частота вращения?

Домашнее задание:

1. Вывести формулу $a={\omega }^{2}R$.

2. Решить задачу: Спутник движется по круговой орбите со скоростью 3 км/с. Радиус орбиты – 7000 км. Найдите центростремительное ускорение.