Текст урока. Урок 3. Конус и его элементы.

Плоскости могут рассекать конус по-разному. Форма сечения зависит от угла наклона плоскости. Рассмотрим три основных случая.

А) Сечение, проходящее через ось конуса (осевое сечение)

Как строим: Плоскость проходит через вершину $P$ и центр основания $O$.

Форма сечения: Равнобедренный треугольник.

Свойства:

• Основание треугольника = диаметр основания конуса $2R$.

• Боковые стороны = образующие конуса $l$ (они равны).

• Высота треугольника = высота конуса $h$.

Площадь осевого сечения:

$$S_{\text{ос}\mathrm{.}\text{сеч}}=\frac{1}{2}\cdot (2R)\cdot h=R\cdot h$$

Жизненный пример: Если разрезать мороженое-рожок ровно пополам вдоль, получится треугольник.

Б) Сечение, параллельное основанию

Как строим: Плоскость горизонтальна, параллельна основанию.

Форма сечения: Круг.

Свойства:

• Радиус сечения $r$ меньше радиуса основания $R$.

• Сечение подобно основанию. Если плоскость пересекает высоту в точке $O_1$, то $r=\frac{P{O}_1}{PO}\cdot R$ (отношение расстояний от вершины).

Аналогия: Нарезая конус «шайбами» параллельно столу, вы каждый раз будете видеть круг, который уменьшается по мере приближения к вершине.

В) Сечение, проходящее через вершину, но не через ось

Как строим: Плоскость проходит через вершину $P$ и пересекает основание по хорде (не по диаметру).

Форма сечения: Равнобедренный треугольник, но с меньшим основанием (хорда).

Свойства:

• Боковые стороны — две образующие (равны).

• Основание — хорда в круге основания.

• Высота треугольника опущена на эту хорду из вершины.

Пример: Если отрезать верхушку конуса наискосок через вершину, но не через центр, всё равно получится треугольник, но уже «сплюснутый».