Текст урока. Урок 8. Объём прямой призмы и цилиндра.

Теперь перейдём к цилиндру. Прямой круговой цилиндр — это тело с основаниями-кругами.

Используем принцип Кавальери.

• Возьмём прямую призму, у которой площадь основания $S_{\text{осн}}$ равна площади круга основания цилиндра ($S_{\text{круга}}=\pi R^2$).

• Высоту призмы и цилиндра сделаем одинаковой (равной $h$).

Применим принцип Кавальери:
Рассечём оба тела горизонтальными плоскостями на высоте $x$ от основания.

• У цилиндра сечение — круг, площадь $\pi R^2$
  

• У призмы сечение — многоугольник (подобный основанию), площадь $S_{\text{осн}}$ (одинакова на любой высоте, так как призма прямая).
  По условию $S_{\text{осн}}=\pi R^2$

Так как площади всех соответствующих сечений равны, объёмы тел равны.

$$V_{\text{цилиндра}}=V_{\text{призмы}}=S_{\text{осн}}\cdot h=\pi R^2\cdot h$$

Итоговая теорема (объём цилиндра):

$$\boxed{{\displaystyle V_{\text{цилиндра}}=\pi R^{2}h}}$$

Где $R$ — радиус основания, $h$ — высота цилиндра.

Пояснение: Цилиндр можно рассматривать как «предел» правильных $n$-угольных призм, вписанных в него, при $n\to \mathrm{\infty }$. Принцип Кавальери делает это рассуждение строгим и простым.