Текст урока. Урок 10. Объём конуса и шара.

Теорема

Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту:

$$\boxed{{\displaystyle V_{\text{конуса}}=\frac{1}{3}\pi R^{2}h}}$$

Обоснование (через вписанные пирамиды)

1. Рассмотрим прямой круговой конус с радиусом основания $R$ и высотой $h$.

2. Впишем в него правильную $n$-угольную пирамиду. Её основание — правильный $n$-угольник, вписанный в окружность основания конуса. Вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса.

3. Объём этой вписанной пирамиды:

$$V_n=\frac{1}{3}{S}_n\cdot h$$

где $S_n$ — площадь $n$-угольника (основания пирамиды).
4. При увеличении $n$ до бесконечности:

• $S_n\to \pi R^2$ (площадь круга),

• вписанная пирамида стремится к конусу.

5. Следовательно:

$$V_{\text{конуса}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{V}_n=\frac{1}{3}\cdot (\pi R^2)\cdot h=\frac{1}{3}\pi R^{2}h$$

Аналогия с пирамидой: Конус — это «пирамида с бесконечным числом граней». Формула объёма у них одинаковая: одна треть от $S_{\text{осн}}\cdot h$.