Текст урока. Урок 10. Объём конуса и шара.

Усечённый конус — это часть полного конуса, заключённая между его основанием и плоскостью, параллельной основанию.

У него два радиуса: $R$ (нижнее основание) и $r$ (верхнее основание). Высота $h$.

Формула объёма усечённого конуса

$$\boxed{{\displaystyle V_{\text{усеч}\mathrm{.}\text{кон}}=\frac{1}{3}\pi h(R^2+Rr+r^2)}}$$

Идея вывода (без строгого доказательства):
Усечённый конус получается, если от полного конуса радиуса $R$ и высоты $H$ отрезать верхний малый конус радиуса $r$ и высоты $h_2$. Тогда:

$$V_{\text{усеч}}=V_{\text{полн}}-V_{\text{верх}}=\frac{1}{3}\pi R^{2}H-\frac{1}{3}\pi r^2{h}_2$$

Используя подобие: $\frac{h_2}{H}=\frac{r}{R}$, после преобразований получаем указанную формулу.

Запомнить: Формула очень похожа на формулу объёма усечённой пирамиды, только вместо $S_1$и $S_2$подставлены $\pi R^2$ и $\pi r^2$.