Текст урока. Урок 12. Векторы в пространстве. Действия над векторами.

В планиметрии мы уже знакомились с векторами на плоскости. В пространстве понятие вектора расширяется естественным образом.

Определение:
Вектором в пространстве называется направленный отрезок, то есть отрезок, у которого указаны начало и конец.

Обозначения:

• $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\overrightarrow{AB}$ (где $A$ — начало, $B$ — конец).

• На чертеже вектор изображается стрелкой.

Пример: $\overrightarrow{AB}$ — вектор, идущий от точки $A$ к точке $B$. Если поменять начало и конец местами, получится противоположный вектор $\overrightarrow{BA}$.

Длина (модуль) вектора

Модуль вектора — это длина отрезка, изображающего вектор.

Обозначение: $\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }$, $\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}\mathrm{\mid }$.

Формула в координатах (если заданы координаты начала и конца в пространстве):

$$A(x_1,y_1,z_1),B(x_2,y_2,z_2)\Rightarrow \mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}\mathrm{\mid }=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$$

Пример: Если $A(1,2,3)$, $B(4,6,3)$, то $\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}\mathrm{\mid }=\sqrt{(4-1{)}^2+(6-2{)}^2+(3-3{)}^2}=\sqrt{9+16+0}=\sqrt{25}$