Текст урока. Урок 12. Векторы в пространстве. Действия над векторами.

Определение:
Произведением вектора $\vec{a}$ на число $\lambda$ (действительное число) называется вектор $\lambda \vec{a}$, который:

1. Коллинеарен вектору $\vec{a}$.

2. Длина равна $\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }$.

3. Направление:

   • Если $\lambda >0$, то $\lambda \vec{a}$ сонаправлен с $\vec{a}$.

   • Если $\lambda <0$, то противоположно направлен.

   • Если $\lambda =0$ или $\vec{a}=\vec{0}$, то $\lambda \vec{a}=\vec{0}$.

Геометрический смысл:

• Умножение на $\lambda >1$ — растяжение вектора.

• Умножение на $0<\lambda <1$ — сжатие вектора.

• Умножение на отрицательное число — дополнительно меняет направление на противоположное.

Свойства умножения (для любых $\lambda ,\mu$ и векторов $\vec{a},\vec{b}$):

1. $\lambda (\mu \vec{a})=(\lambda \mu )\vec{a}$ (ассоциативность)

2. $(\lambda +\mu )\vec{a}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{a}$ (дистрибутивность относительно сложения чисел)

3. $\lambda (\vec{a}+\vec{b})=\lambda \vec{a}+\lambda \vec{b}$ (дистрибутивность относительно сложения векторов)