Текст учебника. Урок 8. Логарифмическая функция, её свойства и график.: Исследование свойств функции y = log ⁡ a x y=log a x

В начало Классы Предметы Онлайн-школа Каналы и группы Контакты Регистрация

Тема урока: Логарифмическая функция, её свойства и график.

Тип урока: Урок изучения нового материала (урок-исследование).

Цели урока:

Предметные: Сформировать понятие логарифмической функции, изучить её свойства в зависимости от основания. Установить связь между показательной и логарифмической функциями как взаимно обратными.
Метапредметные: Развивать навыки исследовательской работы, умения анализировать, сравнивать, обобщать и делать выводы на основе наблюдений за поведением графиков.
Личностные: Формировать представление о целостности математического знания, о симметрии и гармонии в математике.

Планируемые результаты:

Знать: Определение логарифмической функции, её свойства (область определения, область значений, монотонность), особенности графика при $a > 1$ и $0 < a < 1$ , связь с показательной функцией.
Уметь: Определять характер монотонности по основанию, строить эскизы графиков, сравнивать числа, используя свойства функции.

4. Исследование свойств функции y = log ⁡ a x y=log a x

Рассмотрим два случая, как и для показательной функции.

Случай 1: $a > 1$ (например, $y = \log_{2} x, y = \lg x$ )

Составим таблицу для функции $y = \log_{2} x$ :

$x$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	1	2	4	8
$y = \log_{2} x$	-3	-2	-1	0	1	2	3

Наблюдения:

График расположен правее оси OY ( $x > 0$ ).
Проходит через точку (1; 0).
С ростом $x$ значения функции медленно растут.
При $x \to 0^{+}$ (стремлении к нулю справа) значения функции стремятся к $- \infty$ .
При $x \to + \infty$ значения функции стремятся к $+ \infty$ .

Случай 2: $0 < a < 1$ (например, $y = \log_{1 / 2} x$ )

Составим таблицу для функции $y = \log_{1 / 2} x$ :

$x$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	1	2	4	8
$y = \log_{1 / 2} x$	3	2	1	0	-1	-2	-3

Наблюдения:

График также расположен правее оси OY ( $x > 0$ ).
Проходит через точку (1; 0).
С ростом $x$ значения функции убывают.
При $x \to 0^{+}$ значения функции стремятся к $+ \infty$ .
При $x \to + \infty$ значения функции стремятся к $- \infty$ .