Модуль 1: Степени и корни. Степенная функция (4 урока)

Урок 1. Корень n-й степени и его свойства.

  • План урока:

    1. Определение корня n-й степени. Арифметический корень натуральной степени. Корень нечётной степени из отрицательного числа.

    2. Свойства арифметического корня n-й степени: ⁿ√(ab) = ⁿ√a · ⁿ√b, ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b, (ⁿ√a)ᵏ = ⁿ√(aᵏ), ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐⁿ√a.

    3. Доказательство свойств на основе определения и свойств степени.

Урок 2. Обобщение понятия степени. Степень с рациональным показателем.

  • План урока:

    1. Определение степени с рациональным показателем: a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ), где a > 0, m ∈ ℤ, n ∈ ℕ, n ≥ 2.

    2. Свойства степени с рациональным показателем (аналогичны свойствам степени с целым показателем). Доказательство для частных случаев.

    3. Преобразование выражений, содержащих степени с рациональным показателем и радикалы .

Урок 3. Степенная функция, её свойства и график.

  • План урока:

    1. Определение степенной функции y = x^r для различных r ∈ ℚ.

    2. Анализ свойств и вида графика в зависимости от показателя r:

      • r = n (натуральное) — чётные/нечётные показатели.

      • r = -n (целое отрицательное) — гипербола.

      • r = p/q (рациональное) — корни, обратная пропорциональность.

    3. Область определения и множество значений степенной функции при различных показателях.

Урок 4. Иррациональные уравнения.

  • План урока:

    1. Определение иррационального уравнения. Понятие равносильности уравнений. Посторонние корни и потеря решений.

    2. Основной метод решения: возведение обеих частей уравнения в степень.

    3. Теорема о равносильности при возведении в нечётную степень и при возведении в чётную степень (с учётом ОДЗ).

    4. Методы решения: замена переменной, выделение полного квадрата .

Модуль 2: Показательная и логарифмическая функции (5 уроков)

Урок 5. Показательная функция, её свойства и график.

  • План урока:

    1. Определение показательной функции y = a^x, где a > 0, a ≠ 1.

    2. Свойства функции: область определения (ℝ), область значений (ℝ⁺), монотонность (возрастает при a > 1, убывает при 0 < a < 1).

    3. График показательной функции. Экспонента. Связь с графиками при разных основаниях.

Урок 6. Показательные уравнения и неравенства.

  • План урока:

    1. Определение показательного уравнения. Методы решения: приведение к одинаковому основанию, вынесение общего множителя, замена переменной.

    2. Теорема о равносильности: a^{f(x)} = a^{g(x)} ⇔ f(x) = g(x).

    3. Показательные неравенства. Свойство монотонности: при a > 1 a^{f(x)} > a^{g(x)} ⇔ f(x) > g(x); при 0 < a < 1 знак неравенства меняется.

Урок 7. Логарифм. Свойства логарифмов.

  • План урока:

    1. Определение логарифма числа по основанию. Основное логарифмическое тождество: a^{log_a b} = b.

    2. Десятичный и натуральный логарифмы.

    3. Свойства логарифмов: log_a (bc) = log_a b + log_a c, log_a (b/c) = log_a b - log_a c, log_a b^p = p log_a b.

    4. Доказательство свойств на основе определения логарифма .

Урок 8. Логарифмическая функция, её свойства и график.

  • План урока:

    1. Определение логарифмической функции y = log_a x, где a > 0, a ≠ 1.

    2. Свойства функции: область определения (x > 0), область значений (ℝ), монотонность (возрастает при a > 1, убывает при 0 < a < 1).

    3. График логарифмической функции. Симметричность графиков показательной и логарифмической функций относительно прямой y = x (взаимно обратные функции).

Урок 9. Логарифмические уравнения и неравенства.

  • План урока:

    1. Определение логарифмического уравнения. Методы решения: приведение к одинаковому основанию, потенцирование, замена переменной.

    2. Теорема о равносильности: log_a f(x) = log_a g(x) ⇔ f(x) = g(x) > 0.

    3. Логарифмические неравенства. Свойство монотонности: при a > 1 log_a f(x) > log_a g(x) ⇔ f(x) > g(x) > 0; при 0 < a < 1 знак неравенства меняется.

Модуль 3: Первообразная и интеграл (3 урока)

Урок 10. Первообразная. Основное свойство первообразной.

  • План урока:

    1. Задача, приводящая к понятию первообразной (восстановление закона движения по скорости).

    2. Определение первообразной функции F(x) для функции f(x) на промежутке.

    3. Основное свойство первообразной: если F(x) — первообразная для f(x), то множество всех первообразных имеет вид F(x) + C. Доказательство с использованием теоремы о постоянстве функции с нулевой производной.

    4. Таблица первообразных для основных элементарных функций .

Урок 11. Правила нахождения первообразных. Площадь криволинейной трапеции.

  • План урока:

    1. Правила интегрирования (правила нахождения первообразных):

      • Первообразная суммы равна сумме первообразных.

      • Постоянный множитель можно выносить за знак первообразной.

    2. Понятие криволинейной трапеции. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции.

    3. Геометрическая интерпретация первообразной как переменной площади.

Урок 12. Определённый интеграл. Формула Ньютона–Лейбница.

  • План урока:

    1. Определение определённого интеграла как предела интегральных сумм.

    2. Геометрический смысл определённого интеграла — площадь криволинейной трапеции.

    3. Формула Ньютона–Лейбница: ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a). Доказательство на основе приращения первообразной.

    4. Свойства определённого интеграла .

Модуль 4: Элементы теории вероятностей и статистики. Уравнения и неравенства с параметром (4 урока)

Урок 13. Элементы комбинаторики. Размещения, сочетания, перестановки.

  • План урока:

    1. Повторение основных комбинаторных конфигураций. Формулы числа перестановок: P_n = n!.

    2. Определение размещений: A_n^k = n!/(n-k)!.

    3. Определение сочетаний: C_n^k = n!/(k!(n-k)!).

    4. Свойства сочетаний. Связь между размещениями и сочетаниями .

Урок 14. Вероятность случайного события. Сложение и умножение вероятностей.

  • План урока:

    1. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.

    2. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий: P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

    3. Теорема умножения вероятностей для независимых событий: P(A ∩ B) = P(A)·P(B).

    4. Противоположные события .

Урок 15. Уравнения и неравенства с параметром (общие подходы).

  • План урока:

    1. Понятие уравнения с параметром. Аналитический подход к решению.

    2. Графическая интерпретация уравнений с параметром.

    3. Классификация задач с параметром: количество решений, исследование при всех значениях параметра.

    4. Простейшие линейные и квадратные уравнения с параметром .

Урок 16. Итоговое повторение. Обобщение и систематизация знаний.

  • План урока:

    1. Обобщение ключевых понятий курса алгебры и начал математического анализа: функция, производная, первообразная, интеграл, степень, логарифм.

    2. Основные методы решения уравнений и неравенств (показательных, логарифмических, иррациональных).

    3. Содержательно-методические линии курса: «Числа и вычисления», «Функции и графики», «Уравнения и неравенства», «Начала математического анализа», «Множества и логика» .

    4. Подготовка к итоговой аттестации (обзор требований к результатам освоения программы) .

Последнее изменение: воскресенье, 15 марта 2026, 10:37