Текст учебника. Урок 9. Логарифмические уравнения и неравенства.

Метод 1: Потенцирование (приведение к одинаковому основанию)

Этот метод применяется, когда обе части уравнения являются логарифмами по одному основанию.

Пример 1 (решаем вместе):
Решить уравнение ${\log }_5(x^2+2x)={\log }_5(x^2+10)$.

Решение:

1. Выпишем ОДЗ (хотя бы для одного выражения):
   $x^2+2x>0$ и $x^2+10>0$ (второе всегда истинно, так как сумма квадрата и положительного числа >0). Решим первое неравенство: $x(x+2)>0$ => $x<-2$ или $x>0$.

2. Потенцируем (убираем логарифмы, основания равны):
   $x^2+2x=x^2+10$

3. Решаем полученное уравнение: $2x=10$ => $x=5$.

4. Проверяем ОДЗ: $x=5$ принадлежит промежутку $x>0$. Подходит.
   Ответ: $x=5$.

Метод 2: Приведение к одному основанию и использование свойств

Иногда уравнение содержит логарифмы с разными основаниями или выражения, которые можно упростить с помощью свойств.

Пример 2:
Решить уравнение ${\log }_{2}x+{\log }_{4}x=3$.

Решение:

1. ОДЗ: $x>0$.

2. Приведем все логарифмы к одному основанию, например, к основанию 2. Используем формулу перехода: ${\log }_{4}x=\frac{{\log }_{2}x}{{\log }_{2}4}=\frac{{\log }_{2}x}{2}$.

3. Получаем: ${\log }_{2}x+\frac{1}{2}{\log }_{2}x=3$.

4. Приводим подобные: $\frac{3}{2}{\log }_{2}x=3$ => ${\log }_{2}x=2$.

5. По определению логарифма: $x=2^2=4$.

6. Проверка ОДЗ: $4>0$, подходит.
   Ответ: 4.

Метод 3: Замена переменной

Применяется, когда уравнение содержит логарифмы в степени или повторяющиеся выражения.

Пример 3:
Решить уравнение ${\log }_2^{2}x-3{\log }_{2}x+2=0$.

Решение:

1. ОДЗ: $x>0$.

2. Сделаем замену: пусть $t={\log }_{2}x$, где $t\in \mathbb{R}$.

3. Получим квадратное уравнение: $t^2-3t+2=0$.

4. Решаем его: $D=9-8=1$, корни $t=1,t=2$.

5. Возвращаемся к переменной $x$:

   • ${\log }_{2}x=1$ => $x=2^1=2$.

   • ${\log }_{2}x=2$ => $x=2^2=4$.

6. Проверка ОДЗ: оба корня положительны.
   Ответ: $2;4$.