Текст учебника. Урок 9. Логарифмические уравнения и неравенства.

Решение логарифмических неравенств основано на свойстве монотонности логарифмической функции. Важно всегда учитывать ОДЗ!

Теорема о равносильности для неравенств:

1. Если $a>1$, то неравенство ${\log }_{a}f(x)>{\log }_{a}g(x)$ равносильно системе:

   $$\{\begin{array}{l}f(x)>g(x)\\ g(x)>0(\text{или }f(x)>0)\end{array}$$

   (знак неравенства сохраняется, так как функция возрастает).

2. Если $0<a<1$, то неравенство ${\log }_{a}f(x)>{\log }_{a}g(x)$ равносильно системе:

   $$\{\begin{array}{l}f(x)<g(x)\\ f(x)>0(\text{или }g(x)>0)\end{array}$$

   (знак неравенства меняется на противоположный, так как функция убывает).

Пример 4 (решаем вместе):
Решить неравенство ${\log }_3(2x-4)>{\log }_3(x+1)$.

Решение:

1. ОДЗ (подлогарифмические выражения должны быть положительными):

   $$\{\begin{array}{l}2x-4>0\\ x+1>0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x>2\\ x>-1\end{array}\Rightarrow x>2.$$

2. Основание $3>1$, поэтому при "снятии" логарифмов знак неравенства сохраняем:
   $2x-4>x+1$

3. Решаем линейное неравенство:
   $2x-x>1+4$ => $x>5$.

4. Пересекаем с ОДЗ: $x>2$ и $x>5$ => $x>5$.
   Ответ: $(5;+\mathrm{\infty })$.

Пример 5:
Решить неравенство ${\log }_{0.5}(x-1)\le {\log }_{0.5}(3-x)$.

Решение:

1. ОДЗ:

   $$\{\begin{array}{l}x-1>0\\ 3-x>0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x>1\\ x<3\end{array}\Rightarrow x\in (1;3)\mathrm{.}$$

2. Основание $0.5<1$, функция убывает, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняем:
   $x-1\ge 3-x$ (внимание: было ≤, стало ≥)

3. Решаем: $x+x\ge 3+1$ => $2x\ge 4$ => $x\ge 2$.

4. Пересекаем с ОДЗ: $x\in (1;3)$ и $x\ge 2$ => $x\in [2;3)$.
   Ответ: $[2;3)$.