Текст учебника. Урок 11. Правила нахождения первообразных. Площадь криволинейной трапеции.

Как вычислить площадь такой фигуры? Для прямоугольника есть формула $S=a\cdot b$. Для произвольной кривой формул нет. Но мы можем использовать подход, основанный на понятии первообразной.

Рассмотрим функцию $S(x)$, которая выражает площадь части криволинейной трапеции, ограниченной слева точкой $a$, а справа — подвижной точкой $x$.

Теорема (геометрический смысл первообразной):
Производная функции $S(x)$ (площади) равна значению исходной функции $f(x)$ в точке $x$.

$$S^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)$$

Физическое пояснение: Представим, что мы "заметаем" площадь вертикальной прямой, движущейся вправо. Скорость изменения площади в каждый момент времени равна длине текущего отрезка (высоте фигуры), то есть $f(x)$.

Следовательно, функция площади $S(x)$ является одной из первообразных для функции $f(x)$.