Текст учебника. Урок 13. Элементы комбинаторики. Размещения, сочетания, перестановки. | Сочетания (Combinations)

SDAVALKA

В начало Календарь Классы Предметы Онлайн-школа Каналы и группы Контакты Регистрация

Тема урока: Элементы комбинаторики. Размещения, сочетания, перестановки.

Тип урока: Урок изучения нового материала и систематизации знаний.

Цели урока:

Предметные: Актуализировать знания о комбинаторных задачах. Ввести понятия перестановок, размещений, сочетаний. Изучить формулы для их вычисления и связь между ними.
Метапредметные: Развивать логическое мышление, умение классифицировать комбинаторные конфигурации по признаку (важен ли порядок, участвуют ли все элементы), навыки работы с формулами.
Личностные: Формировать представление о практической значимости комбинаторики для решения задач в теории вероятностей, статистике, информатике.

Планируемые результаты:

Знать: Определения и формулы для числа перестановок, размещений, сочетаний; свойства сочетаний.
Уметь: Распознавать тип комбинаторной конфигурации в задаче, применять соответствующие формулы для вычислений.

4. Сочетания (Combinations)

Определение: Сочетаниями из $n$ элементов по $k$ ( $k \leq n$ ) называются комбинации, составленные из $k$ элементов, выбранных из данных $n$ элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом (порядок не важен).

Число сочетаний из $n$ по $k$ обозначается $C_{n}^{k}$ (также используется обозначение $(\binom{n}{k})$ ).

Формула:

$C_{n}^{k} = \frac{A_{n}^{k}}{P_{k}} = \frac{n!}{k! (n - k)!}$

Пояснение: Если в размещениях порядок важен, то в сочетаниях порядок не важен. Одна и та же группа из $k$ элементов в сочетании считается за 1, а в размещениях дает $k!$ различных вариантов (перестановок внутри группы). Поэтому $A_{n}^{k} = C_{n}^{k} \cdot P_{k}$ , откуда и получается формула.

Пример 3:
В классе 25 учеников. Нужно выбрать 3 делегатов на конференцию. Сколькими способами это можно сделать?
Решение: Здесь важен только состав делегации, порядок не важен. Это сочетания из 25 по 3.

$C_{25}^{3} = \frac{25!}{3! \cdot 22!} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{13800}{6} = 2300$

Ответ: 2300 способов.