Текст урока. Урок 4. Площадь поверхности конуса.

Вывод формулы $S_{\text{бок}}=\pi Rl$

Площадь боковой поверхности конуса равна площади её развёртки — то есть площади кругового сектора с радиусом $l$ и дугой $2\pi R$.

Из курса планиметрии (9 класс) мы знаем формулу площади сектора двумя способами. Используем удобный для нас:

Способ 1 (через длину дуги и радиус):

Площадь полного круга радиуса $l$ равна $S_{\text{круга}}=\pi l^2$
Длина полной окружности того же радиуса: $2\pi l$

Наш сектор — это часть круга. Его площадь относится к площади круга так же, как длина дуги сектора относится к длине полной окружности:

$$\frac{S_{\text{бок}}}{S_{\text{круга}}}=\frac{\text{длина дуги сектора}}{\text{длина окружности}}$$

Подставляем:

$$\frac{S_{\text{бок}}}{\pi l^2}=\frac{2\pi R}{2\pi l}=\frac{R}{l}$$

Отсюда:

$$S_{\text{бок}}=\pi l^2\cdot \frac{R}{l}=\pi Rl$$

Итоговая формула:

$$\boxed{{\displaystyle S_{\text{бок}}=\pi Rl}}$$

Где:

• $R$ — радиус основания конуса,

• $l$ — образующая конуса.

Важно: Формула очень похожа на формулу площади треугольника $\frac{1}{2}\cdot (\text{основание})\cdot \text{высота}$, если заметить, что боковую поверхность можно представить как сумму бесконечно узких треугольников с основанием $2\pi R$ и высотой $l$. Но строгий вывод — через сектор.