Текст урока. Урок 6. Комбинации тел вращения и многогранников.

Сфера — это «идеальная круглая» поверхность. Многогранник может быть вписан в сферу или описан около неё.

А) Сфера, описанная около многогранника

Определение:
Сфера называется описанной около многогранника, если все вершины многогранника лежат на этой сфере.

Центр описанной сферы — точка, равноудалённая от всех вершин многогранника.

Примеры:

• Куб: Центр описанной сферы совпадает с центром куба (пересечение диагоналей). Радиус сферы $R=\frac{a\sqrt{3}}{}$ где $a$ — ребро куба.

• Правильная пирамида: Центр описанной сферы лежит на высоте пирамиды (или её продолжении). Радиус находится из прямоугольного треугольника, соединяющего центр сферы, центр основания и вершину.

Аналогия: Сфера «обнимает» многогранник снаружи, проходя через его углы (вершины).

Б) Сфера, вписанная в многогранник

Определение:
Сфера называется вписанной в многогранник, если она касается всех его граней (каждой грани в одной точке — точке касания).

Центр вписанной сферы — точка, равноудалённая от всех граней многогранника (лежит на пересечении биссекторных плоскостей двугранных углов).

Примеры:

• Куб: Центр вписанной сферы совпадает с центром куба. Радиус сферы $r=\frac{a}{2}$, где $a$ — ребро куба. Сфера касается каждой грани в её центре.

• Правильная пирамида: Вписать сферу можно не в любую пирамиду, а только если суммы противоположных рёбер равны (или существует точка, равноудалённая от всех граней). В правильной пирамиде центр вписанной сферы лежит на высоте. Радиус находят через площадь полной поверхности и объём: $r=\frac{3V}{S_{\text{полн}}}$ (это универсальная формула).

Аналогия: Сфера сидит внутри многогранника, как воздушный шарик в коробке, касаясь каждой стенки.