Текст урока. Урок 7. Понятие объёма. Объём прямоугольного параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед — это фигура, все грани которой — прямоугольники. Его три измерения: длина $a$ , ширина $b$ , высота $c$ (длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины).

Теорема (формула объёма прямоугольного параллелепипеда)

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.

$$\boxed{{\displaystyle V=a\cdot b\cdot c}}$$

Идея доказательства (для понимания):

1. Рассмотрим единичный куб (ребро = 1). Его объём = 1 (по определению).

2. Возьмём параллелепипед с измерениями $a,b,c$ — целыми числами. Его можно разбить на $a\cdot b\cdot c$ единичных кубов. По свойству аддитивности $V=a\cdot b\cdot c$.

3. Если измерения — дробные числа, разбиваем на мелкие доли единичного куба и используем предельный переход. Для иррациональных измерений — через приближения. В школьном курсе формула принимается как доказанная.

Следствие 1: объём куба

Если все три измерения равны ($a=b=c$), то параллелепипед является кубом с ребром $a$. Тогда:

$$V_{\text{куба}}=a\cdot a\cdot a=a^3$$

Запомните: $a^3$ читается как «$a$ в кубе», что и дало название степени 3.

Следствие 2: объём прямоугольного параллелепипеда через площадь основания и высоту

Поскольку площадь основания прямоугольного параллелепипеда $S_{\text{осн}}=a\cdot b$, а высота $h=c$, формулу можно записать в едином виде (которая позже распространится на призмы и цилиндры):

$$V=S_{\text{осн}}\cdot h$$