Текст урока. Урок 13. Компланарные векторы. Разложение вектора по трём некомпланарным векторам.

Это центральная теорема урока, аналог теоремы о разложении вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам.

Теорема

Любой вектор $\vec{p}$ в пространстве можно единственным образом представить в виде линейной комбинации трёх некомпланарных векторов $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$:

$$\boxed{{\displaystyle \vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}}}$$

где $x,y,z$ — действительные числа (коэффициенты разложения).

Геометрический смысл:
Векторы $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ образуют базис в пространстве. Любой вектор можно «собрать» из этих трёх «кирпичиков» с нужными коэффициентами.

Доказательство (идея)

1. Отложим все векторы от одной точки $O$: $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ (некомпланарны) и $\vec{p}$.

2. Через конец вектора $\vec{p}$ (точку $P$) проведём плоскости, параллельные плоскостям, определяемым парами векторов $\vec{b},\vec{c}$; $\vec{a},\vec{c}$; $\vec{a},\vec{b}$.

3. Построим параллелепипед, в котором $\overrightarrow{OP}$ — диагональ. Рёбра параллелепипеда будут коллинеарны $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$.

4. Значит, $\overrightarrow{OP}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}$, где $x,y,z$ — числа, равные отношениям длин рёбер к длинам базисных векторов.

5. Единственность следует из некомпланарности: если бы было два разных разложения, их разность дала бы нулевой вектор при ненулевых коэффициентах — противоречие.